Дифиренциальные уравнения первого порядка

і входять у початок координат.

 

 


6. Диференціальні рівняння у повних диференціалах

Означення. Диференціальне рівняння  або

                  (8. 21)

називається ДР у повних диференціалах. Це ДР має інтеграл

                        (8. 22)

ДР виду

                    (8. 23)

є ДР у повних диференціалах, якщо виконується тотожність

                      (8. 24)

При цьому знаходимо функцію  із рівнянь

                  (8. 25)

В окремому випадку можна скористатись формулою

             (8. 26)

Значення  можуть бути довільними числами.

Розв’язок задач Коші з початковими умовами  визначається рівнянням  де  подається формулами (8. 26).

Приклад. Розв’яжемо ДР .

l Перевіримо спочатку виконання умови (8. 24):

.

Умова (8. 24) виконується, і знаходимо функцію  із рівнянь (8. 26). При  маємо  

Отже, ДР має інтеграл

Л. Ейлер довів, що для будь-якого ДР першого порядку

 

для якого не виконується умова (8. 24), існує інтегрувальний множ­ник  такий, що ДР  є ДР у повних диференціалах. Із умови виду (8. 24)

   (8. 28)

шукаємо інтегрувальний множник m, а потім інтегруємо рівняння (8. 27).

Приклад. Знайдемо інтегрувальний множник для ДР

.

l Маємо:

Умова (8. 24) не виконується. Розглядуване ДР не є рівнянням у повних диференціалах. Складемо рівняння (8. 28).

Припустимо, що інтегрувальний множник m залежить тільки від х. Дістанемо рівняння  Домножимо початкове ДР на х і дістанемо рівняння в повних диференціалах: , яке легко зінтегрувати:

 

 


7. Лінійні диференціальні рівняння

Означення. Диференціальні рівняння виду

                         (8. 29)

називається лінійним ДР

Якщо , то ДР є однорідним. Якщо , то ДР називається неоднорідним.

Однорідні рівняння інтегруються у квадратурах, як ДР із відокремленими змінними:

,  
 .

Нехай відомий частинний розв’язок неоднорідного ДР.

Шукаємо загальний розв’язок неоднорідного ДР у вигляді .

Оскільки виконується тотожність, то для відшукання z маємо однорідне ДР

Отже, справджується така теорема:

Теорема 1. Загальний розв’язок неоднорідного лінійного ДР дорівнює сумі частинного розв’язку неоднорідного ДР і загального розв’язку однорідного ДР.

Приклад. Лінійне ДР.

 

має частинний розв’язок  Однорідне ДР  має загальний розв’язок . Загальний розв’язок неоднорідного ДР дорівнює сумі

Звичайно використовують такі три методи розв’язування лінійного неоднорідного ДР.

І. Метод Бернуллі.

Розв’язок ДР (8. 29) шукаємо у вигляді добутку двох функцій  Підставляючи, дістаємо рівняння

Зведемо це рівняння до системи ДР:

 

Із першого рівняння знаходимо змінну v:

 

Із другого рівняння знаходимо змінну u:

 

Остаточно маємо розв’язок у вигляді

                (8. 30)

Приклад. Знайдемо загальний розв’язок ДР

 

l Розв’язок шукаємо у вигляді добутку функцій  Підставляючи, дістаємо рівняння

 

Зведемо це рівняння до системи ДР:

 

Із першого рівняння  знаходимо:

 

 

Із другого рівняння маємо:

 

Знаходимо розв’язок:

 

ІІ. Метод Ейлера.

Домножуємо рівняння (8. 29) на інтегрувальний множник  Дістаємо ДР

Нехай  ДР набирає вигляду:

.

Остаточно приходимо до розв’язку виду (8. 30):

 

Приклад. Знайдемо розв’язок ДР

 

l Помножимо ДР на інтегрувальний множник μ:

 

і візьмемо  При цьому дістанемо ДР:

 

Знайдемо інтегрувальний множник з ДР:

 

 

Початкове лінійне ДР набирає вигляду    і має загальний розв’язок

ІІІ. Метод Лагранжа

Лагранж запропонував загальний метод розв’язування неоднорідних лінійних ДР. Спочатку розв’язується однорідне ДР. У загальний розв’язок входять довільні сталі. Потім шукається загальний розв’язок неоднорідного ДР і при цьому довільні сталі стають новими шуканими функціями.

Шукатимемо розв’язок неоднорідного ДР (8. 29).

Спочатку розв’яжемо однорідне ДР . Загальний розв’язок має вигляд . Шукаємо розв’язок неоднорід­ного ДР у вигляді  Підставляючи в ДР (8. 28), дістаємо рівняння

.

Приходимо до простого ДР

 

і загального розв’язку неоднорідного ДР виду (8. 30):

 

Метод Лагранжа часто називають методом варіації довільної сталої.

Приклад. Знайдемо за методом Лагранжа розв’язок неоднорід­ного лінійного ДР

 

l Спочатку знайдемо загальний розв’язок однорідного ДР:      

Шукаємо розв’язок неоднорідного ДР у вигляді .

Підставивши в неоднорідне ДР, дістанемо

 

або

 

Використаємо формулу інтегрування частинами:

 

Отже, остаточно дістанемо загальний розв’язок ДР:

 

 

До лінійного ДР зводиться ДР Бернуллі

 

Вводиться нова змінна , і ДР для z набирає вигляду ДР

 

 


8. Зниження порядку деяких диференціальних рівнянь другого порядку

У загальному випадку ДР

1 2 3 4 5 6

Похожие работы