Дифиренциальные уравнения первого порядка
6. Диференціальні рівняння у повних диференціалах
Означення. Диференціальне рівняння або
(8. 21)
називається ДР у повних диференціалах. Це ДР має інтеграл
(8. 22)
ДР виду
(8. 23)
є ДР у повних диференціалах, якщо виконується тотожність
(8. 24)
При цьому знаходимо функцію із рівнянь
(8. 25)
В окремому випадку можна скористатись формулою
(8. 26)
Значення можуть бути довільними числами.
Розв’язок задач Коші з початковими умовами визначається рівнянням де подається формулами (8. 26).
Приклад. Розв’яжемо ДР .
l Перевіримо спочатку виконання умови (8. 24):
.
Умова (8. 24) виконується, і знаходимо функцію із рівнянь (8. 26). При маємо
Отже, ДР має інтеграл
Л. Ейлер довів, що для будь-якого ДР першого порядку
для якого не виконується умова (8. 24), існує інтегрувальний множник такий, що ДР є ДР у повних диференціалах. Із умови виду (8. 24)
(8. 28)
шукаємо інтегрувальний множник m, а потім інтегруємо рівняння (8. 27).
Приклад. Знайдемо інтегрувальний множник для ДР
.
l Маємо:
Умова (8. 24) не виконується. Розглядуване ДР не є рівнянням у повних диференціалах. Складемо рівняння (8. 28).
Припустимо, що інтегрувальний множник m залежить тільки від х. Дістанемо рівняння Домножимо початкове ДР на х і дістанемо рівняння в повних диференціалах: , яке легко зінтегрувати:
7. Лінійні диференціальні рівняння
Означення. Диференціальні рівняння виду
(8. 29)
називається лінійним ДР
Однорідні рівняння інтегруються у квадратурах, як ДР із відокремленими змінними:
,
.
Нехай відомий частинний розв’язок неоднорідного ДР.
Шукаємо загальний розв’язок неоднорідного ДР у вигляді .
Оскільки виконується тотожність, то для відшукання z маємо однорідне ДР
Отже, справджується така теорема:
Теорема 1. Загальний розв’язок неоднорідного лінійного ДР дорівнює сумі частинного розв’язку неоднорідного ДР і загального розв’язку однорідного ДР.
Приклад. Лінійне ДР.
має частинний розв’язок Однорідне ДР має загальний розв’язок . Загальний розв’язок неоднорідного ДР дорівнює сумі
Звичайно використовують такі три методи розв’язування лінійного неоднорідного ДР.
І. Метод Бернуллі.
Розв’язок ДР (8. 29) шукаємо у вигляді добутку двох функцій Підставляючи, дістаємо рівняння
Зведемо це рівняння до системи ДР:
Із першого рівняння знаходимо змінну v:
Із другого рівняння знаходимо змінну u:
Остаточно маємо розв’язок у вигляді
(8. 30)
Приклад. Знайдемо загальний розв’язок ДР
l Розв’язок шукаємо у вигляді добутку функцій Підставляючи, дістаємо рівняння
Зведемо це рівняння до системи ДР:
Із першого рівняння знаходимо:
Із другого рівняння маємо:
Знаходимо розв’язок:
ІІ. Метод Ейлера.
Домножуємо рівняння (8. 29) на інтегрувальний множник Дістаємо ДР
Нехай ДР набирає вигляду:
.
Остаточно приходимо до розв’язку виду (8. 30):
Приклад. Знайдемо розв’язок ДР
l Помножимо ДР на інтегрувальний множник μ:
і візьмемо При цьому дістанемо ДР:
Знайдемо інтегрувальний множник з ДР:
Початкове лінійне ДР набирає вигляду і має загальний розв’язок
ІІІ. Метод Лагранжа
Лагранж запропонував загальний метод розв’язування неоднорідних лінійних ДР. Спочатку розв’язується однорідне ДР. У загальний розв’язок входять довільні сталі. Потім шукається загальний розв’язок неоднорідного ДР і при цьому довільні сталі стають новими шуканими функціями.
Шукатимемо розв’язок неоднорідного ДР (8. 29).
Спочатку розв’яжемо однорідне ДР . Загальний розв’язок має вигляд . Шукаємо розв’язок неоднорідного ДР у вигляді Підставляючи в ДР (8. 28), дістаємо рівняння
.
Приходимо до простого ДР
і загального розв’язку неоднорідного ДР виду (8. 30):
Метод Лагранжа часто називають методом варіації довільної сталої.
Приклад. Знайдемо за методом Лагранжа розв’язок неоднорідного лінійного ДР
l Спочатку знайдемо загальний розв’язок однорідного ДР:
Шукаємо розв’язок неоднорідного ДР у вигляді .
Підставивши в неоднорідне ДР, дістанемо
або
Використаємо формулу інтегрування частинами:
Отже, остаточно дістанемо загальний розв’язок ДР:
До лінійного ДР зводиться ДР Бернуллі
Вводиться нова змінна , і ДР для z набирає вигляду ДР
8. Зниження порядку деяких диференціальних рівнянь другого порядку
У загальному випадку ДР