Дифиренциальные уравнения первого порядка

другого порядку має вигляд

 

Загальний розв’язок рівняння містить дві довільні сталі:

                         (8. 32)

і за рахунок вибору довільних сталих  можна розв’язати задачу Коші, яка полягає в пошуку частинного розв’язку , що задовольняє початкові умови

Для ДР другого порядку частіше зустрічається на практиці крайова задача, коли умова на шуканий розв’язок  задається при різних значеннях аргументу.

У деяких випадках можна знизити порядок ДР другого порядку (8. 31) і звести до ДР першого порядку.

І. У ДР відсутня шукана функція. ДР виду

                          (8. 33)

зводяться до ДР першого порядку, якщо візьмемо  Дістанемо ДР першого порядку

                        (8. 34)

Якщо буде знайдено загальний розв’язок цього рівняння  то дістанемо

Якщо ДР другого порядку має вигляд  то беремо  і дістаємо ДР першого порядку  з відокремлюваними змінними:

 

Приклад. Розв’яжемо ДР другого порядку

l При  дістанемо ДР першого порядку:

 

 

Знайдемо загальний розв’язок ДР другого порядку:

 

Приклад. Розв’яжемо ДР

l Вважаючи, що  знижуємо порядок і приходимо до ДР першого порядку:

 

 

Інтегруючи z, дістаємо загальний розв’язок ДР другого порядку:

 

ІІ. ДР не містить явно аргументу. Порядок ДР

                        (8. 35)

можна знизити, якщо за нову незалежну змінну візьмемо у, а за нову залежну змінну —

Дістаємо рівність:

Остаточно приходимо до ДР першого порядку

Якщо знайдемо загальний розв’язок цього рівняння, то для пошуку загального розв’язку ДР (8. 36) дістанемо рівняння:

.

Якщо ДР другого порядку має вигляд  то приходимо до ДР першого порядку  з відокремлюваними змінними:

Визначивши  знаходимо у з ДР першого порядку

 

Приклад. Знайти загальний розв’язок ДР другого порядку

l Узявши  дістанемо  і прийдемо до ДР першого порядку .

Знаходимо змінну  і приходимо до ДР першого порядку  розв’язуючи яке, дістаємо:

 

ІІІ. ДР є однорідним відносно шуканої функції та її похідних, тобто

           (8. 36)

В однорідному рівнянні другого порядку  узявши

           (8. 37)

прийдемо до ДР першого порядку виду

Якщо знайдено загальний розв’язок цього ДР  то далі маємо:

 

Приклад. Знайдемо загальний розв’язок однорідного ДР

l Використовуючи заміну (8. 37), приходимо до ДР першого порядку

 

звідки  Із ДР  знаходимо загальний роз­в’язок

 


9. Диференціальне рівняння n-го порядку

У загальному випадку ДР n-го порядку має вигляд

 

Загальний розв’язок ДР залежить від n довільних сталих і має вигляд

 

Задача Коші полягає у знаходженні частинного розв’язку y(x), що задовольняє початкові умови:

 

де  — наперед задані значення.

Деякі ДР можуть бути зінтегровані в квадратурах, тобто знаходження загального розв’язку зводиться до інтегрування відомих функцій.

Приклад. Знайдемо загальний розв’язок ДР третього порядку

l Позначивши  дістаємо ДР першого порядку  розв’язуючи яке маємо:

 

Беручи  приходимо до ДР першого порядку  яке інтегрується, у квадратурах:

Остаточно знаходимо загальний розв’язок:

 

Для знаходження частинного розв’язку задаємо початкові умови:

 

З попередніх рівнянь знаходимо  і отримуємо частинний розв’язок ДР третього порядку:

 

Аналогічно може бути розв’язане ДР n-го порядку виду

 

З рівняння знайдемо  а далі зінтегруємо рівняння за х.


Література

 

  1. Бугров Я. С. , Никольский С.  М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. — М. : Наука, 1988. — 240 с.
  2. Бугров Я. С. , Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисление. — М. : Наука, 1988. — 432 с
  3. Бугров Я. С. , Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы, ряды, функции комплексного переменного. — М. : Наука, 1989. — 464 с.
  4. Овчинников П. Ф. , Яремчук Ф. П. , Михайленко В. М. Высшая математика. — К. : Вища шк. , 1987. — 552 с.
  5. Пак В. В. , Носенко Й. Л. Вища математика. — К. : Либідь, 1996. —  440 с.
  6. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — Т. 1, 2. — М. : Наука, 1985. — 580 с. , 602 с.
  7. Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С. Гудименка. — К. : КУ, 1967.
1 2 3 4 5 6

Похожие работы