Дифиренциальные уравнения первого порядка

План

План. 2

1. Основні поняття. 3

2. Задача Коші 5

3. Теорема існування та єдиності розв’язків. 6

4. Диференціальне рівняння з відокремленими та відокремлюваними змінними. 14

5. Однорідне диференціальне рівняння. 16

6. Диференціальні рівняння у повних диференціалах. 18

7. Лінійні диференціальні рівняння. 20

8. Зниження порядку деяких диференціальних рівнянь другого порядку. 24

9. Диференціальне рівняння n-го порядку. 27

Література. 29


1. Основні поняття

Означення. Диференціальним рівнянням називається рівняння, яке містить похідну шуканої функції. Найбільший порядок похідних називається порядком диференціального рівняння.

У загальному випадку диференціальне рівняння n-го порядку має вигляд

 

Далі замість слів «диференціальні рівняння» використовуватимемо позначення ДР.

Приклад.

 

— ДР першого порядку;

 

 

— ДР другого порядку;

 

 

— ДР третього порядку.

Диференціальне рівняння може визначити функцію багатьох змінних.

Приклад. Рівняння з частинними похідними

 

має розв’язок

 

який називається функцією Кобба—Дугласа.

У запропонованому розділі розглянути лише диференціальні і різницеві рівняння, в яких шукана функція залежить лише від одного аргументу. Такі рівняння називаються звичайними.

У даній темі вивчаємо ДР першого порядку, які в загальному вигляді можна записати рівнянням

                                                         (8. 1)

Це — ДР рівняння, що не розв’язане відносно похідної. Якщо рівняння (8. 1) можна розв’язати відносно похідної, то рівняння (8. 1) подаємо у вигляді

                                .                            (8. 2)

Це ДР рівняння, що розв’язане відносно похідної, і його можна записати у вигляді  або .

Якщо  є дробом, , тоді ДР першого порядку можна записати в симетричній формі

                (8. 3)

Означення. Розв’язком ДР  називається функція , яка при підстановці у ДР перетворює його на тотожність. Графік функції  називається інтегральною кривою

Приклад. Задача інтегрування функцій може бути розглянута як задача інтегрування ДР

 

і має розв’язок

 

який знаходиться інтегруванням, тобто квадратурою.

Інтегральні криві утворюються зсувом однієї з них вздовж осі у.

Приклад. ДР  має розв’язок .

l Справді, . Підставивши  в рівняння, дістанемо тотожність

Звичайно, ДР має нескінченну множину розв’язків. Так, попереднє рівняння  має розв’язок , де С — довільний параметр.

 


2. Задача Коші

Розглянемо ДР .

Означення. Задача пошуку розв’язку , що задовольняє умови

 при                        (8. 4)

називається задачею Коші. Умови (8. 4) називаються початковими умовами, числа  називаються початковими значеннями.


3. Теорема існування та єдиності розв’язків

Нехай функція  неперервна в області D і задовольняє в області D умову Ліпшиця:

       (8. 5)

тоді при  існує єдиний розв’язок  ДР, який задовольняє початкові умови (8. 4) .

Якщо в області D виконуються умови теореми існування та єдності, то через кожну точку області D проходить єдина інтегральна крива. Задача Коші полягає у знаходженні інтегральної кривої, що проходить через задану точку .

Умови (8. 5) можна замінити іншою умовою:

                             (8. 6)

Означення. Точки, в яких порушується єдиність розв’язків ДР, називаються особливими. Розв’язок ДР називається особливим, коли всі точки на розв’язку особливі.

Якщо в диференціальному рівнянні першого порядку

 

то точка  є особливою точкою ДР.

Наведемо приклади поводження інтегральних кривих в околі особливої точки (рис. 8. 1).

 

 

Рис. 8. 1

Приклад. Розглянемо ДР  яка має особливу (0; 0). Розв’яжемо ДР  

Інтегральними кривими є гіперболи. Особлива точка (0; 0) є сідлом.

Розглянемо ДР .

Означення. Функція , що містить довільну сталу С, називається загальним розв’язком ДР, якщо функція  є розв’язком ДР при довільному значенні сталої С, тобто  і за рахунок вибору довільної сталої С можна розв’язати задачу Коші з довільними початковими умовами, тобто рівняння  розв’язується відносно С. Розв’язок  при фіксованому значенні сталої С називається частинним розв’язком.

Приклад. ДР  має загальний розв’язок

l Справді, маємо тотожність:

 

При довільних початкових значеннях ,  знаходимо значення довільної

1 2 3 4 5 6

Похожие работы