Квантовая статистика

Зміст
Квантова статистика 3Принцип тотожності 3Принцип Паулі на неї не розповсюджується 5Формули Річардсона і Річардсона-Дешмана 11Література 15

Квантова статистика
Квантова статистика досліджує фізичні властивості систем однакових мікрочасток, наприклад, електронів, фотонів,   - частинок і т. д.  Поведінка сукупності частинок одного сорту описується хвилевою функцією   (1) q1,q2 - узагальнені координати.  Квантова статистика систем однакових мікрочасток допускає два класи функцій: симетричні, такі, що зберігають свій знак при перестановці двох частинок:  антисиметричні, такі, що міняють знак при перестановці:  Ці два класи функцій не можуть переходити один в одного.  
Принцип тотожності
Принцип тотожності: частинки одного і того ж сорту не можуть мати ніяких помітних особливостей. Тому взаємна перестановка двох однакових частинок не змінює фізичного стану системи.  У квантовій теорії доводиться, що хвилева функція   завжди залишається симетричною або антисимметричною, тобто якою вона була в початковому стані.  Приналежність частинок до того або іншого класу залежить від величини їх власного моменту, інакше - спина.  Частинки, спин яких рівний напівцілому числу квантів дії Планка  , описується антисиметричними   - функціями. Ці частинки називаються частинками Фермі, або ферміонами, а статистика, що описує їх, називається статистикою Фермі-Дираку.  Електрони, позитрони, протони, нейтрони, атоми, іони, атомні ядра, що складаються з непарного числа елементарних частинок, мають напівцілий спин. Всі вони описуються статистикою Фермі-Дираку.  Наприклад: статистиці Фермі-Дираку підкоряються         Частинки з цілочисельним спином , описуються симетричними   - функціями. Вони називаються частинками Бозе або бозонами. Вживана до них статистика називається статистикою Бозе-Ейнштейна. Їй підкоряються мікрочастки, що складаються з парного числа елементарних частинок.  Наприклад:        ядра дейтерію  мають спин, рівний цілому числу постійних Планка  . Частинки світла (фотони) мають спин, рівний нулю

 У квантовій механіці частинки невиразні.  Принцип Паулі виходить з властивостей антисиметричних хвилевих функцій в даному квантовому стані може знаходитися тільки одна мікрочастка.  Класичні частинки підкоряються статистиці Максвела-Больцмана.  Три статистика.  Дві квантові і одна класична статистикаМаксвела-Больцмана.   ab     ba|   b а   а b  4 стани, частинки помітні, енергія може мати як: дискретний, так і безперервний спектр. Їй відповідає функція розподілу Максвелла-вольцмана 
Принцип Паулі на неї не розповсюджується
Статистика Бозе-Ейнштейна:  aa -   - aa|   а а  
Частинки нероздільні, цілий спин. Принцип Паулі не розповсюджується. Їй відповідає функція розподілу Бозе-Ейнштейна. Енергія дискретна.   Статистика Фермі-Дираку:  а а  Частинки невиразні, напівцілий спин, принцип Паулі: у одному квантовому стані не може бути більше однієї частинки. Кожен квантовий стан або заповнений єдиною мікрочасткою, або не заповнений. Енергія дискретна. Їй відповідає функція Фермі-Дираку  Отже властивості твердих тіл визначаються властивістю електронного газу, тобто статистикою Фермі-Дираку, яка вивчає властивості систем, що складаються з великого числа частинок. Важливе значення має функція розподілу частинок по енергіях n(E). Через dn позначають число частинок в одиниці об'єму, енергія яких поміщена в нескінченно вузькому інтервалі енергії від Е до E+dE.  dn=n(E) dE (1) Функція n(E) дозволяє розрахувати число частинок в одиниці об'єму, енергія яких поміщена в кінцевому інтервалі від E1 до E2.    (2) Якщо через n0 позначити загальне число частинок в одиниці об'єму безвідносно до значення їх енергій, тобто концентрацію частинок, то з (2) витікає наступна умова нормування для функції розподілу:   (3) Різні частинки системи мають різні значення енергії, причому функція n(E) характеризує розподіл частинок по енергіях. Знаючи n(E), можна розрахувати середнє значення енергії частинок даної системи:   (4) або

1 2 3