Логика высказываний

Логіка висловлювань

Висловлюванням називають розповідне речення, про яке можна сказати, що воно чи істинне, чи хибне, але не одне й інше водночас. Розділ логіки, який вивчає висловлювання та їхні властивості, називають пропозиційною логікою або логікою висловлювань.

Два перші речення — висловлюнання, решта три — ні, бо третє речення набуває істинного чи хибного значення залежно від значення змінної х, четверте та п'яте речення -не розповідні.

  Значення „істина" чи „хибність", яких набуває висловлювання, називають його значенням істинності. Значення „істина" позначають буквою Т (від англ. „truth"), а „хибність" — буквою F (від „talse"). Для позначення висловлювань використовують малі латинські букви з індексами чи без них. Символи, використовувані для позначення висловлювань, називають атомарними формулами чи атомами.

  Багато речень утворюють об'єднанням одного чи декількох висловлювань. Отримане висловлювання називають складним. Побудову складних висловлювань уперше розглянуто 1845 р. в книзі англійського математика Дж. Буля (С. Вооle) „Тhe Laws of Truth". Складне висловлювання утворюють із наявних висловлювань за допомогою логічних операцій. У логіці висловлювань використовують п'ять логічних операцій: заперечення (читають „не" та позначають знаком „—"), кон'юнкцію (читають „і (та)" й позначають знаком), диз'юнкцію (читають „або (чи)" та позначають знаком „v"). імплікацію (читають "якщо. .

, то" та позначають знаком „->"), еквівалентність (читають „тоді й лише тоді" та позначають знаком „~").

  У логіці висловлювань атом р чи складне висловлювання називають правильно побудованою формулою або формулою. Вивчаючи формули, розглядають два аспекти — синтаксис і семантику.

  Синтаксис — це сукупність правил, які дають змогу будувати формули та розпізнавати правильні формули серед послідовностей символів. Формули в логіці висловлювань означають за такими правилами:

  • атом — це формула;

  • якщо р — формула, то (—р) — також формула;

 Логічна операція „диз'юнкція" відповідає одному з двох способів уживання слова „чи (або)" в українській мові. Диз'юнкція істинна, якщо істинне принаймні одне з двох висловлювань. Розглянемо речення „Лекції з логіки можуть відвідувати студенти, які прослухали курси математичного аналізу чи дискретної математики". Його зміст полягає в тому, що лекції можуть відвідувати як студенти, які прослухали обидва курси, так і ті, хто прослухав тільки один із них. Але є й інше, альтернативне „чи (або)". Розглянемо речення „Лекції з логіки мають відвідувати студенти, які прослухали тільки один із двох курсів — математичного аналізу чи дискретної математики". Зміст цього речення полягає в тому, що студенти, які прослухали обидва ці курси, уже не повинні слухати лекції з логіки. Аналогічно, якщо в меню зазначено „Закуску чи салат подають із першою стравою", то це майже завжди означає, що з першою стравою буде подано чи закуску, чи салат, а не обидві страви. В останніх двох реченнях використано альтернативне „чи (або)"; його позначають знаком.

Імплікацію як логічну операцію називають також умовним реченням. Щоб зрозуміти, чому імплікація набувае таких значень істинності, слід сприймати її як зв'язок обов'язкового й очікуваного. Наприклад, розглянемо звернення, адресоване студентам: „Якщо ви виконаєте всі завдання, то отримаєте відмінну оцінку". Це означає, що в разі виконання студентами всіх завдань вони одержать відмінну оцінку. Якщо ж студенти не виконають усіх завдань, то вони можуть отримати оцінку „відмінно", а можуть і не отримати її залежно від інших обставин. Однак якщо студенти зробили всі завдання, а викладач не поставив оцінку „відмінно", то

1 2 3

Похожие работы