Математическое ожидание
Математичне сподівання
Однією з найчастіше застосовуваних на практиці характеристик є математичне сподівання.
Термін «математичне сподівання» випадкової величини Х є синонімом терміна «середнє значення» випадкової величини X.
Математичним сподіванням випадкової величини Х, визначеною на дискретному просторі ?, називається величина
.
Якщо ? — обмежена множина, то
.
Якщо простір ? є неперервним, то математичним сподіванням неперервної випадкової величини Х називається величина
.
Якщо ? = (– ¥; ¥), то
.
Якщо ? = [a; b], то
Властивості математичного сподівання
1. Математичне сподівання від сталої величини С дорівнює самій сталій:
М (С) = С.
Справді, сталу С можна розглядати як випадкову величину, що з імовірністю, яка дорівнює одиниці, набуває значення С, а тому
М (С) = С × 1 = С.
2. М (СХ) = СМ (Х).
Для дискретної випадкової величини згідно із маємо
.
Для неперервної:
3. Якщо А і В є сталими величинами, то
Для дискретної випадкової величини:
.
Для неперервної випадкової величини:
Приклад 1. Закон розподілу дискретної випадкової величини задано таблицею:
хі | – 6 | – 4 | 2 | 4 | 6 | 8 |
рі | 0,1 | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,1 | 0,2 |
Обчислити М (Х).
Розв’язання. Скориставшись (76), дістанемо
Приклад 2. За заданою щільністю ймовірностей
обчислити М (Х).
Розв’язання. Згідно із формули маємо:
Приклад 3. Дано щільність імовірностей
Обчислити М (Х).
Розв’язання.
Приклад 4. За заданою функцією розподілу ймовірностей
Обчислити М (Х).
Розв’язання. Для обчислення М (Х) необхідно знайти щільність імовірностей
Тоді:
Якщо випадкова величина Х Î [а; b], то М (Х) Î [а; b], а саме: математичне сподівання випадкової величини має обов’язково міститься всередині інтервалу [а; b], являючи собою центр розподілу цієї величини.