Перпендикулярность

Визначення 1. Пряма АВ (черт. 15) називається перпендикулярною до площини Р, якщо вона перпендикулярна до всіх прямих, що проходять через точку її пересічення з цією площиною і лежачим в цій площині.

Ми доведемо нижче, що можна знайти площину, перпендикулярну до даної прямої, і пряму, перпендикулярну до даної площини.

Визначення 2. Перпендикуляром, проведеним з даної крапки до даної площини, називається відрізок, що сполучає дану крапку з точкою площини і лежачий на прямій, перпендикулярній даній площині. Визначення прямої, перпендикулярній даній площині, ви можете знайти в теміперпендикулярность прямой и плоскости. Один з кінців перпендикуляра, лежачий на площині, називаєтся основанием перпендикуляра.

Визначення 3. Похилою, проведеною з даної крапки до даної площини, називається відрізок, що сполучає дану крапку з будь-якою точкою узятої площини, що не є основою перпендикуляра, опущеного з даної крапки на дану площину. Один з кінців похилою, лежачий на площині, називається підставою похилою.

Визначення 4. Відрізок, що сполучає основи перпендикуляра і похилою, проведених з однієї крапки, називається проекцією похилою на площині (є зважаючи на дана площина і дана похила). На малюнку МВ - перпендикуляр; т. В - основа цього перпендикуляра; МА, МС - похилі; т. А і т. С - відповідно підстави цих похилих; ВА, ВС - проекції.  

Теорема 1. Пряма, перпендикулярна до площини, перпендикулярна до всіх прямих, лежачих на площині.

Більш того

Теорема 1

1. Пряма, перпендикулярна до площини, перпендикулярна до всіх прямих, паралельних цій площині.

Наприклад, пряма АВ, перпендикулярна до площини Р в крапці А, перпендикулярна до всякої прямої D, паралельної цій площині. Дійсно, через крапку А проходит пряма АС, паралельна прямою D і лежача в площині Р; кут ВАС, яким вимірюється кут між прямими АВ і D, буде, за визначенням, прямими.

Назад

Теорема 1. 2. Якщо пряма перпендикулярна до всіх прямих, лежачих в деякій площині, то вона не може бути паралельною цій площині отже, вона пересікає площину і тому до неї перпендикулярна.

З визначення прямої, перпендикулярної до площини, безпосередньо витікають ще такі следствия°:

Теорема 1. 3. Площина Р, перпендикулярна до деякої прямої, перпендикулярна до всякої прямої, паралельної цією прямою; дійсно, будь-яка пряма площини Р, будучи перпендикулярна до першої прямої, перпендикулярна і до другої.

Теорема 1. 4. Пряма D, перпендикулярна до площини Р, перпендикулярна до всякої площини, паралельної цій площині; дійсно, будь-яка пряма, лежача в останній площині, паралельна площині Р і тому перпендикулярна до D.

Можливість знайти взаємно перпендикулярні пряму і площину витікає з наступної теореми:

Теорема 2. Геометричне місце крапок, рівновіддалених від двох крапок В і B1, є площина, що перпендикулярна до прямої ВВ1 і проходить через середину відрізання ВВ1.

Доказ. Хай крапка А - середина відрізання ВВ1. Точки шуканого геометричного місця, лежачі в якій-небудь площині, що проходить через пряму BB1 (біс. 16), лежать на перпендикулярі до прямої BB1проведенном в цій площині через крапку А. Отже, шукане геометричне місце крапок утворене всіма цими перпендикулярами. Якщо З

1 2 3 4 5

Похожие работы