Применение синергетических методов в экономике

роботу в проміжку часу , яка залежить від кількості вільних робочих місць , та ймовірність звільнення, що залежить від кіль­кості вільних робочих місць . Вважається, що . Тоді рівняння моделі має вигляд:

.                         (3)

Можна показати, що існує лінійна заміна змінних, яка приводить рівняння (16. 3) до класичного логістичного відображення (1).

Приклад 5. Деякі моделі мають форму, схожу на рівняння класичного логістичного відображення. Розглянемо, наприклад, макроекономічну модель зростання, запропоновану Хаавельмо [2]:

 

де N — чисельність населення; Y реальний обсяг виробництва; a, b, A, a константи. Після підставлення другого рівняння в перше дістанемо:

.

Увівши дискретний час та замінивши похідні першими різниця­ми, після заміни змінних запишемо:

,

де нова змінна визначається співвідношенням

.

Отже, можна побачити, що закон зростання являє собою узагальнення логістичного відображення.

Якщо взяти, скажімо, a = 1/2, то для a < 4 рівновага буде стійкою, тобто вона досягається будь-якою траєкторією, що починається в довільній точці. Але при 4 < a < 5,75 траєкторії не будуть рівноважними, а залишатимуться в області, обмеженій нулем та одиницею. Фактично тільки-но параметр a > 4, нестійка точка рівноваги розпадається на дві стійкі точки з періодом два, тобто відбуваються біфуркації подвійного періоду

При значеннях параметра, що перевищують 4,8, двоперіодичний цикл стає нестійким, і кожна двоперіодична точка розпадається на дві чотириперіодичні точки.

Зі зростанням a цей біфуркаційний процес триває, генеруючи невироджені орбіти періоду 2k (k = 2, …). Область, усередині якої зароджуються стійкі орбіти періоду k, які далі стають нестійкими та розпадаються на 2k-періодичні орбіти, обмежена значенням параметра  (точне його значення невідоме). Інтервал  називають областю хаосу.

У цьому підрозділі ми розглянули приклади застосування для моделювання хаотичної динаміки в економічних системах однієї з найпростіших нелінійних моделей — логістичного відображення. Зрозуміло, що для побудови адекватних моделей економічної динаміки часто доводиться застосовувати складніші моделі, наприклад багатовимірні відображення, системи нелінійних диференціальних рівнянь [1; 2; 7; 9; 12; 13]. Зокрема, у монографії [12] розглядаються властивості узагальненого логістичного відображення, що задається рекурентним співвідношенням і наведено приклади його використання в моделюванні економічної динаміки.

Розглянуті приклади показують, що процеси, які описуються навіть простими нелінійними моделями, при деяких значеннях параметрів мають хаотичне поводження, яке здається випадковим і може помилково пояснюватися дією неврахованих або випадкових факторів. Але в детермінованих нелінійних моделях хаос породжується саме нелінійністю. З цього випливає, що під час побудови моделей економічної динаміки введення теоретично обґрунтованих нелінійних залежностей поряд із використанням випадкових змінних дає змогу успішно пояснювати різноманітні економічні флуктуації.  

2.  Швидкі та повільні змінні в аналізі макроекономічної динаміки

У рамках різних економічних теорій встановлювані швидкості одних і тих самих макроекономічних змінних можуть істотно різ­нитись. Наприклад, у кейнсіанській теорії рівень заробітної плати вважається фіксованим, а в неокласичній моделі [2] передбачається, що це швидка змінна, залежна від продуктивності праці та розміру капіталу, значення якої встановлюється в результаті конкуренції.

Розглянемо кілька

1 2 3 4 5 6

Похожие работы