Декартів (прямий) добуток множин

Декартів (прямий) добуток множин

Окремо розглянемо ще одну дуже важливу операцію над множинами.

Декартовим (прямим) добутком множин A і B (записується A´B) називається множина всіх пар (a,b), в яких перший компонент належить множині A (aÎA), а другий - множині B (bÎB).

Тобто

A´B = {(a,b) | aÎA і bÎB } або (a,bA´B Û

Декартів добуток природно узагальнюється на випадок довільної скінченної сукупності множин. Якщо A1, A2,. . . , An - множини, то їхнім декартовим добутком називається множина

D = { (a1,a2,. . . ,an) | aA1, aA2,. . . , anÎAn },

яка складається з усіх наборів (a1,a2,. . . ,an), в кожному з яких i-й член, що називається i-ю координатою або i-м компонентом набору, належить множині Ai, i=1,2,. . . ,n. Декартів добуток позначається через AA2´. . . ´ An.

Набір (a1,a2,. . . ,an), щоб відрізнити його від множини, яка складається з елементів a1,a2,. . . ,an, записують не у фігурних, а в круглих дужках і називають кортежем, вектором або впорядкованим набором. Довжиною кортежу називають кількість його координат. Два кортежі (a1,a2,. . . ,an) і (b1,b2,. .

,bn) однакової довжини вважаються рівними тоді і тільки тоді, коли рівні їхні відповідні координати, тобто ai=bi, i=1,2,. . . ,n. Отже, кортежі (a,b,c) і (a,c,b) вважаються різними, в той час як множини {a,b,c} і {a,c,b} - рівні між собою.

Декартів добуток множини A на себе n разів, тобто множину A´A´. . . ´A називають n-м декартовим (або прямим) степенем множини A і позначають An.

Прийнято вважати, що A0 = Æ (n=0) і A1 = A (n=1).

Приклад 1. 9. 1. Якщо A = {a,b} і B = {b,c,d}, то

A´B = {(a,b),(a,c),(a,d),(b,b),(b,c),(b,d)},

A2 = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)}.

2. Якщо R - множина дійсних чисел або множина точок координатної прямої, то R2 - це множина пар (a,b), де a,bÎR, або множина точок координатної площини.

Координатне зображення точок площини вперше було запропоновано французьким математиком і філософом Рене Декартом, тому введена теоретико-множинна операція і називається декартовим добутком.

3. Скінченна множина A, елементами якої є символи (літери, цифри, спеціальні знаки тощо), називається алфавітом. Елементи декартового степеня A називаються словами довжини n в алфавіті A. Множина всіх слів в алфавіті A - це множина

A* = {e} È A È A2 È A3 È. . . = {eAi,

де e - порожнє слово (слово довжини 0), тобто слово, яке не містить жодного символу алфавіту A.

Замість запису слів з An у вигляді кортежів (a1,a2,. . . ,an) частіше використовують традиційну форму запису слів у вигляді послідовності символів a1a2. . . an, ajÎA, j=1,2,. . . ,n. Наприклад, 010111, 011, 0010, 100, 010 - слова в алфавіті B = {0,1}, а 67-35, -981, (450+12)/27, 349*2+17 - це слова в алфавіті C = {0,1, 2,3,4,5,6,7,8,9,+,-,*,/,(,)}.

Операція декартового добутку неасоціативна і некомутативна, тобто множини (A´BC і A´(B´C), а також множини A´B і B´A, взагалі кажучи, нерівні між собою.

Зв’язок декартового добутку з іншими теоретико-множинними операціями встановлюється такими тотожностями:

1 2