Диференціальні рівняння першого порядку
План
План. 2
1. Основні поняття. 3
2. Задача Коші 5
3. Теорема існування та єдиності розв’язків. 6
4. Диференціальне рівняння з відокремленими та відокремлюваними змінними. 14
5. Однорідне диференціальне рівняння. 16
6. Диференціальні рівняння у повних диференціалах. 18
7. Лінійні диференціальні рівняння. 20
8. Зниження порядку деяких диференціальних рівнянь другого порядку. 24
9. Диференціальне рівняння n-го порядку. 27
Література. 29
1. Основні поняття
Означення. Диференціальним рівнянням називається рівняння, яке містить похідну шуканої функції. Найбільший порядок похідних називається порядком диференціального рівняння.
У загальному випадку диференціальне рівняння n-го порядку має вигляд
Далі замість слів «диференціальні рівняння» використовуватимемо позначення ДР.
Приклад. |
| — ДР першого порядку; |
|
| — ДР другого порядку; |
|
| — ДР третього порядку. |
Диференціальне рівняння може визначити функцію багатьох змінних.
Приклад. Рівняння з частинними похідними
має розв’язок
який називається функцією Кобба—Дугласа.
У запропонованому розділі розглянути лише диференціальні і різницеві рівняння, в яких шукана функція залежить лише від одного аргументу. Такі рівняння називаються звичайними.
У даній темі вивчаємо ДР першого порядку, які в загальному вигляді можна записати рівнянням
(8. 1)
Це — ДР рівняння, що не розв’язане відносно похідної. Якщо рівняння (8. 1) можна розв’язати відносно похідної, то рівняння (8. 1) подаємо у вигляді
. (8. 2)
Це ДР рівняння, що розв’язане відносно похідної, і його можна записати у вигляді або .
Якщо є дробом, , тоді ДР першого порядку можна записати в симетричній формі
(8. 3)
Означення. Розв’язком ДР називається функція , яка при підстановці у ДР перетворює його на тотожність. Графік функції називається інтегральною кривою
Приклад. Задача інтегрування функцій може бути розглянута як задача інтегрування ДР
і має розв’язок
який знаходиться інтегруванням, тобто квадратурою.
Інтегральні криві утворюються зсувом однієї з них вздовж осі у.
Приклад. ДР має розв’язок .
l Справді, . Підставивши в рівняння, дістанемо тотожність
Звичайно, ДР має нескінченну множину розв’язків. Так, попереднє рівняння має розв’язок , де С — довільний параметр.
2. Задача Коші
Розглянемо ДР .
Означення. Задача пошуку розв’язку , що задовольняє умови
при (8. 4)
називається задачею Коші. Умови (8. 4) називаються початковими умовами, числа називаються початковими значеннями.
3. Теорема існування та єдиності розв’язків
Нехай функція неперервна в області D і задовольняє в області D умову Ліпшиця:
(8. 5)
тоді при існує єдиний розв’язок ДР, який задовольняє початкові умови (8. 4) .
Якщо в області D виконуються умови теореми існування та єдності, то через кожну точку області D проходить єдина інтегральна крива. Задача Коші полягає у знаходженні інтегральної кривої, що проходить через задану точку .
Умови (8. 5) можна замінити іншою умовою:
(8. 6)
Означення. Точки, в яких порушується єдиність розв’язків ДР, називаються особливими. Розв’язок ДР називається особливим, коли всі точки на розв’язку особливі.
Якщо в диференціальному рівнянні першого порядку
то точка є особливою точкою ДР.
Наведемо приклади поводження інтегральних кривих в околі особливої точки (рис. 8. 1).
Рис. 8. 1
Приклад. Розглянемо ДР яка має особливу (0; 0). Розв’яжемо ДР
Інтегральними кривими є гіперболи. Особлива точка (0; 0) є сідлом.
Розглянемо ДР .
Означення. Функція , що містить довільну сталу С, називається загальним розв’язком ДР, якщо функція є розв’язком ДР при довільному значенні сталої С, тобто і за рахунок вибору довільної сталої С можна розв’язати задачу Коші з довільними початковими умовами, тобто рівняння розв’язується відносно С. Розв’язок при фіксованому значенні сталої С називається частинним розв’язком.
Приклад. ДР має загальний розв’язок
l Справді, маємо тотожність:
При довільних початкових значеннях , знаходимо значення довільної