Диференціальні рівняння першого порядку

сталої С

 

Якщо довільна стала виражена через початкові дані, то загаль­ний розв’язок називається розв’язком у формі Коші.

Приклад. ДР  має розв’язок  у формі Коші.

Означення. Задача знаходження розв’язків ДР називається інтегруванням ДР. Самий розв’язок називається також інтегралом ДР. Назва пояснюється розв’язуванням найпростішого ДР

Загальний розв’язок може бути знайдений у неявній формі:  Тоді ця рівність називається інтегралом ДР. Функція  також називається інтегралом ДР. Якщо загальний розв’язок ДР подається неявним рівнянням  то рівняння називається загальним інтегралом ДР.

Розв’яжемо диференціальне рівняння

 

Рівняння можна записати у вигляді

 

Звідси знаходимо інтеграл ДР

Розглянемо детальніше питання про особливі розв’язки. Точки, в яких існує не єдиний розв’язок ДР  можуть бути точками розриву функцій  а також точками, в яких загальний інтеграл ДР  не розв’язуваний відносно с, тобто  Криві, в точках яких не виконані умови єдиності рішень, називають дискримінантними кривими.

Приклад. Розв’яжемо ДР

l Його можна записати у вигляді

 

ДР має загальний інтеграл  і загальний розв’язок

Шукаємо особливі розв’язки з умови

Знаходимо

Дискримінантна крива y = 0 є розв’язком ДР, але не є частинним розв’язком. Цей особливий розв’язок можна було знайти
з умови, що частина похідна  має розрив при
y = 0. Інтегральні криві наведено на рис. 8. 2.

 

Рис. 8. 2

Не завжди дискримінантна крива визначає рішення ДР.

Приклад. ДР  має загальний розв’язок  і загальний інтеграл

З умови  знаходимо дискримінантну криву
х = 0, яка не визначає ніякого рішення ДР. Інтегральні криві ДР зображено на рис. 8. 3.

 

 

Рис. 8. 3

8. 1. 3. Сім’я кривих

Означення. Множина кривих, залежних від параметра, називається сім’єю кривих. Нехай сім’я кривих описується рівнянням  Якщо виключимо С із системи рівнянь

,                           (8. 7)

то дістанемо ДР сім’ї кривих.

Приклад. Розглянемо множину прямих, що проходять через початок координат  (рис. 8. 4)

 

Рис. 8. 4

Виключимо параметр С із системи рівнянь

Дістанемо ДР  Це рівняння має особливу точку (0, 0).

Задачу інтегрування ДР пер­шого порядку можна розглядати як задачу пошуку рівняння сім’ї кривих  за ДР, яке описує цю сім’ю.

Для наближеного знаходження сім’ї інтегральних кривих використовується графічний метод. ДР першого порядку задає кутовий коефіцієнт дотичної до інтегральної кривої в кожній точці (х, у).

Якщо в кожній точці (х, у) визначений напрям деякого век­тора, то кажуть, що задано поле напрямів. ДР задає поле напрямів дотичних. Ці лінії, на яких дотичні мають однаковий нахил, називаються ізоклінами. Рівняння ізоклін  Побудував­ши графіки ізоклін, можна наближено провести інтегральні криві.

Приклад. Побудуємо графічно сім’ю інтегральних кривих для ДР

l Ізокліни мають рівняння  Побудуємо гра­фіки ізоклін і проведемо наближено інтегральні криві (рис. 8. 5).

Загальний розв’язок рівняння має вигляд

 

Рис. 8. 5

8. 1. 4. Наближені методи розв’язування

Для чисельного знаходження інтегральної кривої, що проходить через задану точку , існує багато методів. Найпростіший метод запропонував Л. Ейлер.

Вводимо дискретні значення аргументу х.

 

Параметр h називається кроком дискретизації, або кроком інте­грування. У точці  інтегральна крива замінюється дотичною з кутовим коефіцієнтом  Підставивши  знаходимо із рівняння  наближене значення у1 змінної у

Аналогічно знаходимо наближено точки  на інтегральній кривій за формулою:

             (8. 8)

Ця формула називається чисельним методом інтегрування Ейлера.

Існують і точніші методи:

 

 

,             

       (8. 9)

де

Формули (8. 9) називаються екстраполяційними методами Адамса.

Наведемо точніші формули, якими подаються інтерполяційні методи Адамса:

 

 

 

    (8. 10)

Через R позначено похибку чисельного методу, де  — похідна k-го порядку точного розв’язку ДР.

Найчастіше на практиці користуються методами типу Рунге—Кутта. Наведемо один із найчастіше використовуваних методів Рунге—Кутта, який має похибку ,

 

                     (8. 11)

Приклад. Знайдемо чисельний розв’язок ДР  за методом Ейлера (8. 8), Адамса (8. 9), Рунге—Кутта (8. 11) при h

1 2 3 4 5 6