Канонічні рівняння кривих другого порядку

План

План. 2

1. Криві другого порядку на площині 3

2. Еліпс. 5

3. Гіпербола. 11

4. Парабола. 16

5. Рівняння еліпса, гіперболи і параболи в полярних. 18

Використана література: 20


1. Криві другого порядку на площині

 Множині рівнянь, що зв’язують дві змінні у деякій плоскій системі координат, відповідає множина кривих найрізноманітніших форм. Пряма лінія – частинний випадок кривої. Криву можна розглядати як слід переміщення точки. У математиці криву задають аналітично, тобто її рівнянням.

 Тут ми розглянемо лише криві другого порядку, тобто їх рівняння є алгебраїчними рівняннями відносно двох змінних, які входять у нього не вище як у другому степені. Отже, в загальному плані крива другого порядку описується рівнянням

   (3. 36)

де  - деякі коефіцієнти.

  Найпоширеніші з кривих другого порядку – еліпс і його частинний випадок – коло, гіпербола і парабола. Про еліпс згадується ще у середній школі у зв’язку з вивченням закону всесвітнього тяжіння і рухом планет навколо Сонця та рухом штучних супутників навколо Землі. Спостерігаючи за рухом планет навколо Сонця, Кеплер склав таблиці, що описували їх положення на небесній сфері і підтверджували той факт, що всі планети рухаються навколо Сонця по еліпсах

Французький вчений Левер’є, аналізуючи таблиці Кеплера, прийшов до висновку, що в русі останньої на той час планети Уран спостерігаються значні відхилення від еліптичної траєкторії. Він робить припущення, що причиною цих відхилень є невідома на той час планета, яка знаходиться далі від Сонця, ніж Уран. Після тривалих і складних обчислень він знаходить координати нової планети. Тому про нову планету (її потім було названо Нептуном) кажуть, що вона була відкрита “на кінчику олівця”.

  З еліпсом доводиться мати справу і в техніці: еліптичний циркуль для креслення еліпса і на його зворотній дії побудовано патрон Леонардо да Вінчі для верстатів, за допомогою яких обробляються деталі з перерізом еліптичної форми. У конструкціях ряду верстатів застосовуються зубчасті еліптичні передачі (рис. 3. 16).

Загальновідомо також, що від прожектора світлові промені йдуть паралельним пучком, а їх дзеркала параболічні, тобто будь-який їх осьовий переріз є параболою. І навпаки, лінза з осьовим параболічним перерізом збирає паралельні промені в одну точку. На цій основі можна за допомогою такої лінзи одержувати в її фокусі високі температури.

Рис. 3. 16

2. Еліпс

    Нехай у рівнянні (3. 40)  дорівнюють нулю, коефіцієнти  і мають однаковий знак, протилежний знаку . Тоді рівняння кривої матиме вигляд ,

  Оскільки  і , то можна покласти , . Тоді рівняння набере вигляду

                     (3. 37)

   Крива, що описується цим рівнянням, називається еліпсом. При заміні  на  і  на  рівняння не змінюється, тому крива (3. 37) є центрально-симетричною фігурою, тобто її центром є початок координат .

При матимемо

1 2 3 4 5 6