Канонічні рівняння кривих другого порядку
Останнє рівняння можна записати у вигляді
(3. 40)
де або
Далі детально зупинимось на першому з рівнянь (3. 40) (із знаком “+ “ в правій частині). Крива, що описується цим рівнянням, називається гіперболою. Як у випадку еліпса, вона є центральносиметричною кривою. (Чому?) Виразимо з рівняння гіперболи змінну через , вважаючи, що і (перша чверть):
(3. 41)
Областю визначення цієї функції є , причому при зростанні від до зростає від нуля до Оскільки , то крива (3. 41) опукла.
Розглянемо пряму і оцінимо різницю
Очевидно, що при будь-яких матимемо . Якщо прямує до , то вираз в дужках є невизначеністю типу . Для її розкриття помножимо і поділимо праву частину на . Тоді одержимо
Тепер уже очевидно, що при різниця прямує до нуля, тобто прямує до злиття з кривою .
На основі викладених міркувань легко побудувати схематично криву, що зображається першим з рівнянь (3. 40), якщо врахувати при цьому, що відповідна крива центральносиметрична (рис. 3. 20).
Побудову гіперболи найкраще виконувати, перш за все побудувавши її асимптоти. Точки і називаються вершинами гіперболи, вісь - дійсною, а вісь - уявною осями гіперболи.
Як і у випадку еліпса, розглянемо дві точки і , а також точку на кривій
Після тотожних перетворень одержимо
Щоб ця рівність збігалася з (3. 40), повинно бути .
Рис. 3. 20
Оскільки, то. Звідси одержуємо таке означення гіперболи.
Гіперболою називається множина точок, різниця віддалей якихвід двох даних точок є сталою величиною. Точки і називаються фокусами гіперболи. Якщо у рівнянні гіперболи , то вона називається рівносторонньою, бо її дійсна і уявна осі рівні між собою.
Вісь називається уявною, тому що з рівняння гіперболи при одержуємо , де - уявна одиниця.
Введемо в розгляд фокальні радіуси гіперболи . Тоді на основі означення гіперболи одержимо . Як і у рівнянні еліпса, маємо
З цих двох рівнянь маємо
де .
Величина називається ексцентриситетом гіперболи. Як і у випадку
еліпса, прямі називаються директрисами гіперболи. Через те, що , директриси розміщені між вітками гіперболи.
Так само, як і у випадку еліпса, можна довести, що відношення віддалей будь-якої точки гіперболи до фокуса і відповідної директриси є величина стала і дорівнює .
У курсі математики і, особливо, в прикладних її розділах велику роль відіграють гіперболічні функції
Легко довести, що .
Розглянемо тепер гіперболу