Канонічні рівняння кривих другого порядку

різні знаки, то одержимо

    Останнє рівняння можна записати у вигляді

               (3. 40)

де     або  

  Далі детально зупинимось на першому з рівнянь (3. 40) (із знаком “+ “ в правій частині). Крива, що описується цим рівнянням, називається гіперболою. Як у випадку еліпса, вона є центральносиметричною кривою. (Чому?) Виразимо з рівняння гіперболи змінну   через  , вважаючи, що    і   (перша чверть):

                                                                 (3. 41)

   Областю визначення цієї функції є  , причому при зростанні   від   до      зростає від нуля до Оскільки , то крива (3. 41) опукла.

  Розглянемо пряму   і  оцінимо різницю

  Очевидно, що при будь-яких  матимемо . Якщо  прямує до , то вираз в дужках є невизначеністю типу  . Для її розкриття помножимо і поділимо праву частину на  . Тоді одержимо

   Тепер уже очевидно, що при  різниця  прямує до нуля, тобто   прямує до злиття з кривою .

На основі викладених міркувань легко побудувати схематично криву, що зображається першим з рівнянь (3. 40), якщо врахувати при цьому, що відповідна  крива центральносиметрична (рис. 3. 20).

Побудову гіперболи найкраще виконувати, перш за все побудувавши її асимптоти. Точки   і   називаються вершинами  гіперболи, вісь - дійсною, а вісь - уявною осями гіперболи.

Як і у випадку еліпса, розглянемо дві точки   і  , а також точку   на кривій

Запишемо різницю:

Після тотожних перетворень одержимо                        

Щоб ця рівність збігалася з (3. 40), повинно бути .

  Рис. 3. 20

   Оскільки, то. Звідси одержуємо таке означення гіперболи.

Гіперболою називається множина точок, різниця віддалей якихвід двох даних точок є сталою величиною. Точки  і   називаються фокусами гіперболи. Якщо у рівнянні гіперболи , то вона називається рівносторонньою, бо її дійсна і уявна осі рівні між собою.

Вісь називається уявною, тому що з рівняння гіперболи при  одержуємо , де  - уявна одиниця.

 Введемо в розгляд фокальні радіуси гіперболи . Тоді на основі означення гіперболи одержимо  . Як і у рівнянні еліпса, маємо                                  

З цих двох рівнянь маємо

де  .

Величина  називається ексцентриситетом гіперболи. Як і у випадку

еліпса, прямі   називаються директрисами гіперболи. Через те, що , директриси розміщені між вітками гіперболи.

Так само, як і у випадку еліпса, можна довести, що відношення віддалей будь-якої точки гіперболи до фокуса і відповідної директриси є величина стала і дорівнює .

    У курсі математики і, особливо, в прикладних її розділах велику роль відіграють гіперболічні функції

  Легко довести, що  .

 Розглянемо тепер гіперболу

1 2 3 4 5 6