Кватерніони

Для коректного відображення формул, графіків ітд. завантажте роботу у форматі Word.

План

І. Історія виникнення і розвитку кватерніонів та їх застосувань

ІІ. Операції над кватерніонами та їх властивості

ІІІ. Норма кватерніонів

ІV. Геометрична інтерпретація кватерніонів

V. Застосування кватерніонів для подання поворотів 3-вимірного евклідового простору

 


І. Історія виникнення і розвитку кватерніонів та їх застосувань

Числа натуральні … цілі . . раціональні … дійсні … комплексні … Що далі? Адже якщо комплексні числа виявились такими корисними і знайшли так багато застосувань, то відкриття інших, більш загальних видів чисел також представляється перспективною справою.

Як тільки У. Гамільтон зрозумів, що уявні числа – це всього лише впорядковані пари дійсних чисел, для яких певним чином введені арифметичні операції, він задумався над тим, як побудувати систему нових чисел, які б представляли собою впорядковані трійки дійсних чисел. Яким чином краще всього ввести для них арифметичні дії? Подібно тому, як для комплексних чисел зручний запис виду а + bi, де і – уявна одиниця, для нових чисел, – розмірковував Гамільтон, – підійде запис a + bi + cj, де i і j – 2 різні уявні одиниці. І навіть виразна назва для таких чисел сама собою напросилася: триплети: («триплет» в перекладі з латинської означає «трійка»)

В тому, що теорію триплетів буде неважко побудувати, Гамільтон не сумнівався, і тому статтю, посвячену започаткуванню комплексних чисел (1837 р. ), без сумнівів, закінчив анонсом, що згодом опублікує теорію триплетів. І дійсно, почати цю теорію було йому легко. Він ввів поняття рівності двох триплетів, їх суми і різниці. Все тут заключалось в слові покомпонентно…

Але що назвати добутком 2 триплетів? Гамільтон шукав для нової системи чисел таке правило множення, щоб збереглись закономірності арифметики – ті самі, які добре відомі для раціональних чисел, для дійсних чисел і навіть для комплексних чисел. Звичайно, хотілося, щоб для нових чисел збереглися асоціативний (сполучний) закон – не тільки для схеми, але і для множення: , дистрибутивний (розподільчий) закон множення відносно суми  і комутативний (переставний) закон як для суми , так і для множення . На перше місце Гамільтон ставив таку властивість: Якщо , то рівняння  повинно мати, і притому – єдиний, розв’язок». У випадку, якщо добуток двох чисел  і  рівні нулю (), причому , то число  повинно перетворитись в нуль.

От і тут виникли у Гамільтона непередбачені труднощі: який би спосіб множення триплетів він не підбирав, завжди знаходились такі пари ненульових триплетів, які в добутки давали нуль: , , але . Гамільтон перебрав десятки варіантів множення, але підібрати спосіб множення, що не має вказаного недостатка, йому так і не вдалося (пізніше було доказано, що такого способу множення триплетів не існує). Роки йшли, а нічого не змінювалось.

Але все-таки вихід був знайдений. Восени 1834 р. Гамільтона осінила думка: потрібно розглядати числову систему не з трьома, а з чотирма (!) одиницями (одна дійсна і три уявних)!.

Мова йде про вирази виду a + bi + cj + dk, (1) де i, j, k – уявні одиниці. Задати такий вираз – це

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Схожі роботи