Кватерніони

т. д.

Виконання ділення в системі квартеніонів. Перш за все звернемо увагу на існування відмінності в самій постановці запитань про ділення кватерніонів і ділення комплексних чисел. Для комплексних чисел часткою ділення  на  називається рішення рівняння . Але для кватерніонів добуток залежить від порядку множників, тому замість одного рівняння треба розглядати два:

                                                                                              (11)

і

                                                                                              (11')

Відповідно цьому розв’язанню першого рівняння будемо називати лівою часткою від ділення  на  і означати , а розв’язання другого – правою часткою .

Щоб розв’язати рівняння (11) і (11') застосуємо цей же самий прийом, що і у випадку комплексних чисел. Помножимо обидві частини рівняння (11) зліва спочатку на , а потім на . Отримаємо

.

Аналогічно знаходиться :

.

В якості прикладу знайдемо ліві і праві частки від ділення  на :

 

Ітак, ми встановили 2 найбільш важливі властивості системи кватерніонів:

1)     для множення кватерніонів справедливий сполучний закон;

2)     кватерніони – система з діленням.

Модель добутку. Ще одна важлива властивість кватерніонів говорить, що модуль добутку двох кватерніонів дорівнює добутку модулів множників.

Доведення. Спочатку доведемо, що кватерніон, спряжений з добутком двох кватерніонів, дорівнює добутку спряжених кватерніонів, взятих в протилежному порядку. Дійсно, нехай  де  – вектори. Тоді . Далі, . Тепер маємо , звідки , що і потрібно було довести

Розпишемо тепер тотожність  через компоненти кватерніонів, положивши , так що

Отримаємо відому тотожність Ейлера:

 

що дозволяє виразити добуток двох сум чотирьох квадратів у вигляді суми чотирьох квадратів білінійних виразів. Аналогічні тотожності мають місце для сум двох квадратів і для сум восьми квадратів. Ця остання тотожність зв’язана з множенням в так званій алгебрі Келі – деякій вже не асоціативній алгебрі з діленням розмірністю 8. Отже, аналогічних тотожностей для сум  квадратів, крім перерахованих при  (і тривіальної тотожності при ), не існує.


ІІІ. Норма кватерніонів

Невід’ємне дійсне число  називається нормою кватерніона . Легко перевіряється одна з основних властивостей норми: . Зокрема, якщо дійсні коефіцієнти кватерніонів  і  є цілими числами, то із вказаної властивості норми отримується твердження, що добуток суми квадратів чотирьох цілих чисел на суму квадратів чотирьох цілих чисел знову є сумою квадратів чотирьох цілих чисел. Якщо явно виписати дійсні коефіцієнти добутку , то сформоване твердження запишеться у вигляді формули:

 

Аналогічно формула справедлива також для сум двох квадратів: . Вона теж є безпосереднім наслідком відповідної властивості норми комплексних чисел:

.

Якщо тепер  – довільний кватерніон, то , тому

,   .

Звідси випливає, що для довільного ненульового кватерніона  існує обернений кватерніон , а отже для довільного  знайдуться такі кватерніони  і , що , де . Таким чином, алгебра К кватерніонів є асоціативною алгеброю з діленням рангу 4 над полем R дійсних чисел. Вона також служить прикладом нескінченного тіла, що не є полем.

Теорема. Довільна алгебра з діленням рангу 4 над полем дрібних чисел ізоморфна тілу кватерніонів.

Доведення. Нехай А – асоціативна алгебра з діленням рангу 4 над полем R дійсних чисел. Знайдуться такі елементи , що , причому елементи 1,  лінійно

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Схожі роботи