Кватерніони
Виконання ділення в системі квартеніонів. Перш за все звернемо увагу на існування відмінності в самій постановці запитань про ділення кватерніонів і ділення комплексних чисел. Для комплексних чисел часткою ділення на називається рішення рівняння . Але для кватерніонів добуток залежить від порядку множників, тому замість одного рівняння треба розглядати два:
(11)
і
(11')
Відповідно цьому розв’язанню першого рівняння будемо називати лівою часткою від ділення на і означати , а розв’язання другого – правою часткою .
Щоб розв’язати рівняння (11) і (11') застосуємо цей же самий прийом, що і у випадку комплексних чисел. Помножимо обидві частини рівняння (11) зліва спочатку на , а потім на . Отримаємо
.
Аналогічно знаходиться :
.
В якості прикладу знайдемо ліві і праві частки від ділення на :
Ітак, ми встановили 2 найбільш важливі властивості системи кватерніонів:
1) для множення кватерніонів справедливий сполучний закон;
2) кватерніони – система з діленням.
Модель добутку. Ще одна важлива властивість кватерніонів говорить, що модуль добутку двох кватерніонів дорівнює добутку модулів множників.
Доведення. Спочатку доведемо, що кватерніон, спряжений з добутком двох кватерніонів, дорівнює добутку спряжених кватерніонів, взятих в протилежному порядку. Дійсно, нехай де – вектори. Тоді . Далі, . Тепер маємо , звідки , що і потрібно було довести
Розпишемо тепер тотожність через компоненти кватерніонів, положивши , так що
Отримаємо відому тотожність Ейлера:
що дозволяє виразити добуток двох сум чотирьох квадратів у вигляді суми чотирьох квадратів білінійних виразів. Аналогічні тотожності мають місце для сум двох квадратів і для сум восьми квадратів. Ця остання тотожність зв’язана з множенням в так званій алгебрі Келі – деякій вже не асоціативній алгебрі з діленням розмірністю 8. Отже, аналогічних тотожностей для сум квадратів, крім перерахованих при (і тривіальної тотожності при ), не існує.
ІІІ. Норма кватерніонів
Невід’ємне дійсне число називається нормою кватерніона . Легко перевіряється одна з основних властивостей норми: . Зокрема, якщо дійсні коефіцієнти кватерніонів і є цілими числами, то із вказаної властивості норми отримується твердження, що добуток суми квадратів чотирьох цілих чисел на суму квадратів чотирьох цілих чисел знову є сумою квадратів чотирьох цілих чисел. Якщо явно виписати дійсні коефіцієнти добутку , то сформоване твердження запишеться у вигляді формули:
Аналогічно формула справедлива також для сум двох квадратів: . Вона теж є безпосереднім наслідком відповідної властивості норми комплексних чисел:
.
Якщо тепер – довільний кватерніон, то , тому
, .
Звідси випливає, що для довільного ненульового кватерніона існує обернений кватерніон , а отже для довільного знайдуться такі кватерніони і , що , де . Таким чином, алгебра К кватерніонів є асоціативною алгеброю з діленням рангу 4 над полем R дійсних чисел. Вона також служить прикладом нескінченного тіла, що не є полем.
Теорема. Довільна алгебра з діленням рангу 4 над полем дрібних чисел ізоморфна тілу кватерніонів.
Доведення. Нехай А – асоціативна алгебра з діленням рангу 4 над полем R дійсних чисел. Знайдуться такі елементи , що , причому елементи 1, лінійно