Кватерніони

саме, площі  паралелограма, побудованого на векторах  і .

Щоб довести перпендикулярність векторів  і , достатньо перевірити, що дійсна частина добутку цих кватерніонів дорівнює нулю, або що їх добуток являється «чистим» вектором. Але в силу (20) – (23) маємо , тому

.

Справа вийшла сума двох векторів, тобто знову вектор.

Перпендикулярність векторів  і  доводиться аналогічно.

Знайдемо тепер довжину для вектора . Квадрат її дорівнює:

 

або (після тотожних перетворень)

.

Останній вираз є , або, якщо згадати визначення скалярного добутку, , тобто . І так, квадрат довжини вектора  дорівнює , тобто , що і потрібно було довести.

Знайдені нами властивості вектора : перпендикулярність до  і , а також рівність його довжини  – ще не визначають його повністю; такі властивості мають рівно два взаємно протилежних вектора (мал. 7). Який же з них є ? Останній штрих, що завершує опис вектора , заклечається в слідуючому: вектори , ,  орієтовані в просторі подібно .

Отже, якщо дивитись із кінця вектора  на площину векторів  і , то поворот на найменший кут від  до  буде представлятися в тому ж напрямі (тобто, проти годинникової або за годинниковою стрілкою), в якому із кінця вектора  видно поворот на найменший кут від  до  (мал. 8).

 

 

 

Мал. 7

Мал. 8

 

І так, для множення чисто векторних кватерніонів справедлива формула

,

де  – скалярний, а  – векторний добуток векторів  і . Звідси видно, що скалярний і векторний добуток являються як би «обломками» добутку кватерніонів

Операції скалярного і векторного множення лежать в основі цілого розділу математики – векторної алгебри, що має багато застосувань як в самій математиці, так і у фізиці (особливо в механіці).

Геометричний зміст множення довільного кватерніона на чисто векторний кватерніон. Завдяки тому, що множення кватерніонів об’єднує в собі два види множення векторів (скалярне і векторне), кватерніони являються відмінним засобом для вирішення задач геометрії і механіки.

Нехай

 

довільний кватерніон, модуль якого дорівнює 1:

.

Запишемо, що

,

де  – є вектор . Так як , то існує такий кут , що

.

Очевидно, , де р – вектор довжини 1. Значить,

.

Ще раз підкреслимо, що у такому вигляді (де р – вектор довжини 1), може бути представлений будь-який кватерніон з модулем, що дорівнює 1.

Помножимо тепер кватерніон  на який-небудь векторний кватерніон , причому обмежимось випадком коли вектор  перпендикулярний . Отримаємо

.

Оскільки  і  перпендикулярні, добуток  буде мати дійсну частину, що дорівнює нулю; векторна ж частина буде дорівнювати , тобто вектору довжини , перпендикулярному  і  і орієнтованому відносно  і . Позначимо цей вектор через ; можна сказати, що  отриманий із  поворотом навколо вектора  на . І так,

.

Тепер достатньо погляду на мал. 9, щоб зрозуміти, що вектор  отримується із  поворотом навколо осі вектора  на кут .

 

Мал. 9

І так, якщо  – який-небудь кватерніон довжини 1, а  – довільний вектор, перпендикулярний , то множення  зліва на кватерніон

 

здійснює

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Схожі роботи