Кватерніони
Щоб довести перпендикулярність векторів і , достатньо перевірити, що дійсна частина добутку цих кватерніонів дорівнює нулю, або що їх добуток являється «чистим» вектором. Але в силу (20) – (23) маємо , тому
.
Справа вийшла сума двох векторів, тобто знову вектор.
Перпендикулярність векторів і доводиться аналогічно.
Знайдемо тепер довжину для вектора . Квадрат її дорівнює:
або (після тотожних перетворень)
.
Останній вираз є , або, якщо згадати визначення скалярного добутку, , тобто . І так, квадрат довжини вектора дорівнює , тобто , що і потрібно було довести.
Знайдені нами властивості вектора : перпендикулярність до і , а також рівність його довжини – ще не визначають його повністю; такі властивості мають рівно два взаємно протилежних вектора (мал. 7). Який же з них є ? Останній штрих, що завершує опис вектора , заклечається в слідуючому: вектори , , орієтовані в просторі подібно .
Отже, якщо дивитись із кінця вектора на площину векторів і , то поворот на найменший кут від до буде представлятися в тому ж напрямі (тобто, проти годинникової або за годинниковою стрілкою), в якому із кінця вектора видно поворот на найменший кут від до (мал. 8).
|
|
Мал. 7 | Мал. 8 |
І так, для множення чисто векторних кватерніонів справедлива формула
,
де – скалярний, а – векторний добуток векторів і . Звідси видно, що скалярний і векторний добуток являються як би «обломками» добутку кватерніонів
Операції скалярного і векторного множення лежать в основі цілого розділу математики – векторної алгебри, що має багато застосувань як в самій математиці, так і у фізиці (особливо в механіці).
Геометричний зміст множення довільного кватерніона на чисто векторний кватерніон. Завдяки тому, що множення кватерніонів об’єднує в собі два види множення векторів (скалярне і векторне), кватерніони являються відмінним засобом для вирішення задач геометрії і механіки.
Нехай
довільний кватерніон, модуль якого дорівнює 1:
.
Запишемо, що
,
де – є вектор . Так як , то існує такий кут , що
.
Очевидно, , де р – вектор довжини 1. Значить,
.
Ще раз підкреслимо, що у такому вигляді (де р – вектор довжини 1), може бути представлений будь-який кватерніон з модулем, що дорівнює 1.
Помножимо тепер кватерніон на який-небудь векторний кватерніон , причому обмежимось випадком коли вектор перпендикулярний . Отримаємо
.
Оскільки і перпендикулярні, добуток буде мати дійсну частину, що дорівнює нулю; векторна ж частина буде дорівнювати , тобто вектору довжини , перпендикулярному і і орієнтованому відносно і . Позначимо цей вектор через ; можна сказати, що отриманий із поворотом навколо вектора на . І так,
.
Тепер достатньо погляду на мал. 9, щоб зрозуміти, що вектор отримується із поворотом навколо осі вектора на кут .
Мал. 9
І так, якщо – який-небудь кватерніон довжини 1, а – довільний вектор, перпендикулярний , то множення зліва на кватерніон
здійснює