Математичне сподівання

Математичне сподівання

Однією з найчастіше застосовуваних на практиці характеристик є математичне сподівання.

Термін «математичне сподівання» випадкової величини Х є синонімом терміна «середнє значення» випадкової величини X.

Математичним сподіванням випадкової величини Х, визначеною на дискретному просторі ?, називається величина

.

Якщо ? — обмежена множина, то

.

Якщо простір ? є неперервним, то математичним сподіванням неперервної випадкової величини Х називається величина

.                                           

Якщо ? = (– ¥; ¥), то

.                                           

Якщо ? = [a; b], то

 

 

 


Властивості математичного сподівання

1. Математичне сподівання від сталої величини С дорівнює самій сталій:

М (С) = С.                                                        

Справді, сталу С можна розглядати як випадкову величину, що з імовірністю, яка дорівнює одиниці, набуває значення С, а тому
М (С) = С × 1 = С.

2.      М (СХ) = СМ (Х).                                    

Для дискретної випадкової величини згідно із  маємо

.

Для неперервної:

 

3. Якщо А і В є сталими величинами, то       

                               

Для дискретної випадкової величини:

.

Для неперервної випадкової величини:

 

Приклад 1. Закон розподілу дискретної випадкової величини задано таблицею:

хі

– 6

– 4

2

4

6

8

рі

0,1

0,1

0,2

0,3

0,1

0,2

 

Обчислити М (Х).

Розв’язання. Скориставшись (76), дістанемо

 

Приклад 2. За заданою щільністю ймовірностей

 

обчислити М (Х).

Розв’язання. Згідно із формули маємо:

 

 

 

 

 

Приклад 3. Дано щільність імовірностей

 

Обчислити М (Х).

Розв’язання.  

 

Приклад 4. За заданою функцією розподілу ймовірностей

 

Обчислити М (Х).

Розв’язання. Для обчислення М (Х) необхідно знайти щільність імовірностей

 

Тоді:

 

Якщо випадкова величина Х Î [а; b], то М (Х) Î [а; b], а саме: математичне сподівання випадкової величини має обов’язково міститься всередині інтервалу [а; b], являючи собою центр розподілу цієї величини.

Схожі роботи