Матриці. Загальна інформація
План
Основні означення. 3
Дії над матрицями. 4
Обернена матриця. 6
Ранг матриці 7
Використана література. 9
Основні означення
Прямокутна таблиця чисел aij = 1, 2, . . . . m; j= 1, 2, . . . , n, складена з m рядків та n стовпців і записана у вигляді
або
називається матрицею. Поняття матриці вперше ввели англійські математики У. Гамільтон і Д. Келі. Коротко матрицю позначають так:
або
де aij — елементи матриці, причому індекс і в елементі aij означає номер рядка, aj— номер стовпця, на перетині яких стоїть даний елемент.
Добуток числа рядків m на число стовпців n називають розміром матриці і позначають m X n. Якщо хочуть вказати розмір m X n матриці А, то пишуть Аmn.
Матриця, в якої число рядків дорівнює числу стовпців, називається квадратною. Кількість рядків (стовпців) квадратної матриці називається її порядком
Квадратна матриця називається діагональною, якщо всі її елементи, крім тих, що знаходяться на головній діагоналі, дорівнюють нулю. Діагональна матриця, у якої кожен елемент головної діагоналі дорівнює одиниці, називається одиничною і позначається буквою Е. Наприклад, одинична матриця третього порядку має вигляд
Будь-якій квадратній матриці
можна поставити у відповідність певне число, яке називається визначником (детермінантом) цієї матриці і позначається символом det А. За означенням
det A=
Наприклад, якщо
то det
Прямокутна матриця розміром т X п (п ф пі) визначника не має.
Дії над матрицями
1°. Операція додавання матриць вводиться тільки для матриць однакового розміру. Сумою С = А + В двох матриць Аmn — (aij) і Вmn = (bij) називається матриця Сmn= (cij)=(aij+bij). Наприклад,
2°. Добутком матриці Аmn = (aij) на число k (або числа k на матрицю Amn) називається матриця Вmn= (kaij). Наприклад,
3°. Різниця матриць А — В визначається як сума матриці А і матриці В, помноженої на — 1:
Справедливі такі властивості операцій:
а) А - В = В + А — комутативність відносно додавання матриць;
б) А + (В + С) — (А + В)+С — асоціативність відносно додавання матриць;
в) А + О — А; А — А = О — роль нульової матриці в діях над матрицями така, як і числа нуль в діях над числами;
г) (βA) = (β) А — асоціативність відносно множення чисел;
д) (А + В) = А +В — дистрибутивність множення на число відносно додавання матриць;
е) ( + β) А — А + βА — дистрибутивність множення на матрицю відносно додавання чисел.
4°. Операція