План

Основні означення. 3

Дії над матрицями. 4

Обернена матриця. 6

Ранг матриці 7

Використана література. 9

Основні означення

Прямокутна таблиця чисел a_ij = 1, 2, . . . . m; j= 1, 2, . . . , n, скла­дена з m рядків та n стовпців і записана у вигляді

або   

називається матрицею. Поняття матриці вперше ввели англійські математики У. Гамільтон і Д. Келі. Коротко матрицю позначають так:

або

де a_ij — елементи матриці, причому індекс і в елементі a_ij означає но­мер рядка, a_j— номер стовпця, на перетині яких стоїть даний елемент.

Добуток числа рядків m на число стовпців n називають розміром матриці і позначають m X n. Якщо хочуть вказати розмір m X n мат­риці А, то пишуть А_mn.

Матриця, в якої число рядків дорівнює числу стовпців, назива­ється квадратною. Кількість рядків (стовпців) квадратної матриці називається її порядком

Матриця, у якої всього один рядок, назива­ється матрицею-рядком, а матриця, у якої всього один стовпець,— матрицею-стовпцем. Дві матриці А_mn=(a_ij)  та В_mn= (b_ij) нази­ваються рівними, якщо вони однакових розмірів і мають рівні відпо­відні елементи: а_ij = b_ij. Нульовою називається матриця, у якої всі елементи дорівнюють нулю. Позначається така матриця буквою О. Як і в визначниках (п. 1. 1), в квадратних матрицях виділяють головну і побічну діагональ.

Квадратна матриця називається діагональною, якщо всі її елемен­ти, крім тих, що знаходяться на головній діагоналі, дорівнюють нулю. Діагональна матриця, у якої кожен елемент головної діагоналі дорів­нює одиниці, називається одиничною і позначається буквою Е. На­приклад, одинична матриця третього порядку має вигляд

 

 

Будь-якій квадратній матриці

 

 

можна поставити у відповідність певне число, яке називається ви­значником (детермінантом) цієї матриці і позначається символом det А. За означенням

det A=

Наприклад, якщо

то det

Прямокутна матриця розміром т X п (п ф пі) визначника не має.

 

Дії над матрицями

1°. Операція додавання матриць вводиться тільки для матриць однакового розміру. Сумою С = А + В двох матриць А_mn — (a_ij) і В_mn = (b_ij) називається матриця С_mn= (c_ij)=(a_ij+b_ij). На­приклад,

 

2°. Добутком матриці А_mn = (a_ij) на число k (або числа k на матрицю A_mn) називається матриця В_mn= (ka_ij). Наприклад,

 

3°. Різниця матриць А — В визначається як сума матриці А і мат­риці В, помноженої на — 1:

Справедливі такі властивості операцій:

а)  А - В = В + А — комутативність відносно додавання мат­риць;

б)  А + (В + С) — (А + В)+С — асоціативність відносно до­давання матриць; 

в)  А + О — А; А — А = О — роль нульової матриці в діях над матрицями така, як і числа нуль в діях над числами;

г)  (βA) = (β) А  — асоціативність відносно множення чисел;

д)  (А + В) = А +В — дистрибутивність множення на чис­ло відносно додавання матриць;

е)  ( + β) А — А + βА — дистрибутивність множення на мат­рицю відносно додавання чисел.  

4°. Операція