Методичні питання вивчення розділу - Показникова функція
Тобто графічним способом не важко знайти наближенні розв’язки рівннянь такого виду . Знання графиків функції та не рідко дозволяє визначити число розв’язків рівняння та їх наближені, а іноді і точні значення.
Означення:Нерівності, де хоча б одна з функцій показникова, називаються показниковими нерівностями.
Розв’язування найпростійших показникових нерівностей базується на використанні властивостей монотонності показникової функції.
Розглянемо розв’язання найпростійших показникових нерівностей.
1. Нерівність , де ,
а) якщо , то нерівність виконується при будь-якому значенні х (оскільки для будь-якого значення х );
б) якщо , то записавши нерівність у вигляді , дістанемо:
коли , ,
коли , ,
2. Нерівність , де ,
а) якщо , то нерівність не має розв’язку;
б) якщо , то записавши нерівність у вигляді , дістанемо:
коли , ,
коли , ,
Приклад10: Розв’язати нерівність
Розв’язання: Оскільки , то
, , і, нарешті,
Відповідь: .
3. Нерівності виду , де ,
а) якщо , то нерівність еквівалентна
б) якщо , то нерівність еквівалентна
- Нерівності виду , де ,
а) якщо , то нерівність еквівалентна
б) якщо , то нерівність еквівалентна
Приклад 11: Розв’язати нерівність
Розв’язання: Данна нерівність рівносильна нерівності
Таким чином, початковій нервності задовільняють всі дійсні числа.
Відповідь: .
Розв’язання будь-якої нестрогої показникової нерівності відмінно від розв’язання відповідної строгої нерівності тільки включенням у множину всіх розв’язків коренів відповідного рівняння
Нерівність вида , де , , , може бути розв’язана за допомогою логарифмування обох частин ( це можливо, тому що обидві частини нерівності додатні). При всіх нерівність справедлива для будь-якого з ОДЗ нерівності. А нерівність при ,, розв’язків не має.
Приклад 12: Розв’язати нерівність
Розв’язання: Обидві частини нерівності додатні при будь-якому значенні . Прологарифмувавши обидві частини нерівності за основою 3, отримаємо нерівність рівносильну початковій.
Таким чином . Звідсі з врахуванням того, що , знаходимо всі розв’язки початкової нерівності - проміжок
Відповідь: .
Деякі спеціальні методи розв’язування показникових нервностей.
Нерівності виду , де - будь-які дійсні числа, а основи і є протилежними взаємно оберненими числами , можливо розв’язати за допомогою заміни (так як і рівняння).
Деякі показникові нерівності містять вирази виду (степенево-показникова). Нагадаємо, що за означенням =, , , тобто функція визначена тоді, коли визначені обидві функції , і , крім того, >0.
Тобто , або
А також розв’язуються шляхом логарифмування з обов’язковим дослідженням області допустимих значень. При цьому знак нерівності зберігається, якщо логарифмуємо