Методичні питання вивчення розділу - Показникова функція

раз.

Тобто графічним способом не важко знайти наближенні розв’язки рівннянь такого виду . Знання графиків функції  та  не рідко дозволяє визначити число розв’язків рівняння та їх наближені, а іноді і точні значення.  

Означення:Нерівності, де хоча б одна з функцій показникова, називаються  показниковими нерівностями.

Розв’язування найпростійших показникових нерівностей базується на використанні властивостей монотонності показникової функції.

Розглянемо розв’язання найпростійших показникових нерівностей.

1. Нерівність , де ,

а) якщо , то нерівність виконується при будь-якому значенні х (оскільки для будь-якого значення х  );

б)  якщо  , то записавши нерівність у вигляді , дістанемо:

                   коли ,   ,

                   коли ,  ,

2. Нерівність , де ,

 а)  якщо , то нерівність не має розв’язку;

 б)  якщо , то записавши нерівність у вигляді , дістанемо:

                   коли ,   ,

                   коли ,  ,

Приклад10: Розв’язати нерівність 

Розв’язання: Оскільки , то

,  , і, нарешті,

Відповідь: .

3. Нерівності виду , де ,

 а) якщо , то нерівність еквівалентна

 б) якщо , то нерівність еквівалентна

  1. Нерівності виду , де ,

 а) якщо , то нерівність еквівалентна

 б) якщо , то нерівність еквівалентна

Приклад 11: Розв’язати нерівність

Розв’язання: Данна нерівність рівносильна нерівності 

Таким чином, початковій нервності задовільняють всі дійсні числа.

Відповідь: .

Розв’язання будь-якої нестрогої показникової нерівності відмінно від розв’язання відповідної строгої нерівності тільки включенням у множину всіх розв’язків коренів відповідного рівняння

Нерівність вида , де , , , може бути розв’язана за допомогою логарифмування обох частин ( це можливо, тому що обидві частини нерівності додатні). При всіх  нерівність справедлива для будь-якого  з ОДЗ нерівності. А нерівність  при ,,  розв’язків не має.

Приклад 12: Розв’язати нерівність

Розв’язання: Обидві частини нерівності додатні при будь-якому значенні . Прологарифмувавши обидві частини нерівності за основою 3, отримаємо нерівність  рівносильну початковій.

Таким чином  . Звідсі з врахуванням того, що , знаходимо всі розв’язки початкової нерівності - проміжок

Відповідь: .

Деякі спеціальні методи розв’язування показникових нервностей.

Нерівності виду , де  - будь-які дійсні числа, а основи  і є протилежними взаємно оберненими числами , можливо розв’язати за допомогою заміни  (так як і рівняння).

         Деякі показникові нерівності містять вирази виду  (степенево-показникова). Нагадаємо, що за означенням  =, , , тобто функція   визначена тоді, коли визначені обидві функції ,  і , крім того, >0.

Тобто , або 

А також розв’язуються шляхом логарифмування з обов’язковим  дослідженням області допустимих значень. При цьому знак нерівності зберігається, якщо логарифмуємо

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Схожі роботи

Реферати

Курсові

Дипломні