Особливості вивчення тригонометричних функцій числового аргументу в профільних класах
5. Учитель. Давайте побудуємо з вами найбільш загальну модель (наочне представлення) найпростішого гармонічного коливального руху (виконується практична робота № 1).
Нехай точка М рухається рівномірно по колу, вийшовши з положення А/о і здійснюючи повний оберт проти годинникової стрілки. Простежимо рух проекції точки на діаметр кола. При переході точки від Mо до М1, М2, Мз, М4 відповідно, ортогональна проекція цієї точки на діаметр кола зображає точку, яка здійснює простий гармонічний коливальний рух (мал. 1).
Роботу, яку можна провести з учнями, щоб з'ясувати, що існують функціональні залежності між дійсним значенням часу t і відповідними цьому значенню ординатою та абсцисою точки М (мал. 2), описано в статті С. Симан [7]. Ці функціональні залежності отримали назву тригонометричних функцій.
6. Учитель. Розглянемо прямокутну систему
координат х0у, коло з центром у точці О і радіусом, рівним одиниці. Таке коло називають одиничним. Його введення можливе за рахунок того, що значення синуса, косинуса, тангенса і котангенса не залежать від радіуса кола R. Точку pq(1; 0) приймають за початок відліку дуг, а вісь Ох — за початок відліку кутів (мал. 2). Якщо напрям відліку проти руху годинникової стрілки, то кути і дуги додатні, а якщо напрям відліку за рухом годинникової стрілки — від'ємні
Учень. Така домовленість має свою історію. Як відомо, механічні та сонячні годинники створені таким чином, що їхні стрілки рухаються «за сонцем», тобто в тому самому напрямку, в якому ми бачимо, як нам здається, рух Сонця навколо Землі. Але з відкриттям Коперником дійсного (додатного) руху Землі навколо Сонця, той рух, який ми бачили, як нам здавалося, рух Сонця навколо Землі виявився фіктивним (від'ємним). Тому і вважають напрямок руху «за годинниковою стрілкою» або «за сонцем» від'ємним, а протилежний напрям — додатним [1].
7. Учитель. З'ясуємо, чи існує відповідність між множиною дійсних чисел і множиною точок одиничного кола (виконується практична робота № 2).
Побудуємо точки на одиничному колі, що відповідають різним дійсним числам, наприклад . Оскільки формула довжини дуги в радіанах l = Ra, то при R = 1 вона перепишеться як l = а, де а — радіанна міра центрального кута і відповідної йому дуги. Обчисливши наближено значення, . , доцільно запропонувати учням взяти нитку і зав'язати по черзі вузлики на відстані, відповідно, 0,5 см; 1 см; 1,6 см; 2 см; 6,2 см; 8 см; 15 см від її початку. Розташувати початок нитки в точці Р0(1; 0) і намотувати її поступово на коло радіуса R — 1 см, яке побудовано в зошиті, проти руху годинникової стрілки. Де на колі будуть з'являтися вузлики, треба ставити точки . , де а = 1, 2, . . . , 7, в які відображатиметься точка р0(1; 0) при повороті на певний кут, виміряний в радіанах.
Потім доцільно запропонувати учням побудувати на колі точки, які відповідають дійсним числам . Учні мають