Перпендикулярність
Теорема 7. Дві прямі, перпендикулярні одній і тій же площині, паралельні між собою.
Маємо площину а і дві перпендикулярні їй прямі а і b. Доведемо, що а || b.
Через точки пересічення прямими площини проведемо пряму с. По признаку отримуємо а ^ з і b^ с. Через прямі а і b проведемо площину (дві паралельні прямі визначають площину і притому лише одну). У цій площині ми маємо два паралельні прямі а і b і січну с. Якщо сума внутрішніх однобічних кутів рівна 180о, то прямі паралельні. У нас якраз такий випадок - два прямих кута. Тому а || b.
Теорема 8. Якщо площина перпендикулярна одній з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна і інший.
Доказ
Проведемо через точку А2 пересічення прямойа2 з площиною а довільну пряму с2 в площині а. Проведемо в площині а через точку А1 пересічення прямої а1 з плоскостьюa пряму с1, паралельну прямою с2. Оскільки пряма а1 перпендикулярна площині а, те прямі а1 і с1 перпендикулярні. А по теореме 1паралельні їм пересічні прямі а2 ис2 теж перпендикулярні. Таким чином, пряма а2 перпендикулярна будь-якій прямій с2 в площині а. А це означає, що пряма а2перпендикулярна площини а. Теорема доведена.
Теорема 9 Якщо з крапки, лежачої зовні площини, провести до цієї площини перпендикуляр і різні похилі, то:
- перпендикуляр коротше всякою похилою;
- дві похилі, однаково віддалені від основи перпендикуляра, рівні;
- з двох похилих, не однаково віддалених від основи перпендикуляра, довше та, підстава якої далі отстоит від основи перпендикуляра.
1°. З крапки Про (біс. 20) проведемо до площини Р перпендикуляр ВІН і похилу ОА. Остання довше за перпендикуляр ВІН, як похила до прямої НА, до якої пряма ВІН перпендикулярна.
2°. Похилі ОА н ОВ, що володіють тією властивістю, що НА=НВ, рівні через рівність трикутників ВОНА і ОНВ, кути яких при точці Н рівні (як прямі) і поміщені між відповідно рівними сторонами.
3°. Якщо похилі ОА і ОС володіють тією властивістю, що НА < НС, то відкладемо на НС відрізок НВ = НА. Похила ОВ