Перпендикулярність

D2. Перпендикуляр до площини, що проходить через крапку Про, має бути перпендикулярний як до прямої D1, так і до прямої D2, і, отже, одночасно лежатиме в двох площинах O1 і O2, що проходять через крапку Про і перпендикулярних відповідно до цих двом прямим. Назад, загальна пряма цих двох площин буде перпендикулярна до площини Р. Но площині O1 і O2 пересікають площину Р по двох різних прямих, оскільки в площині Р одна і та ж пряма не може бути одночасна перпендикулярною до двох пересічних прямих D1 і D2. Таким чином, ці площини різні; оскільки вони мають загальну крапку, то вони перетинаються лише по одній прямій, яка і є шуканим перпендикуляром і притому єдиним.

Теорема 7. Дві прямі, перпендикулярні одній і тій же площині, паралельні між собою.

Маємо площину а і дві перпендикулярні їй прямі а і b. Доведемо, що а || b.

Через точки пересічення прямими площини проведемо пряму с. По признаку отримуємо а ^ з і b^ с. Через прямі а і b проведемо площину (дві паралельні прямі визначають площину і притому лише одну). У цій площині ми маємо два паралельні прямі а і b і січну с. Якщо сума внутрішніх однобічних кутів рівна 180о, то прямі паралельні. У нас якраз такий випадок - два прямих кута. Тому а || b.  

Теорема 8. Якщо площина перпендикулярна одній з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна і інший.

Доказ

Хай а1 і а2 - дві паралельні прямі і а - площина, перпендикулярна прямою а1. Доведемо, що ця площина перпендикулярна і прямою а2.

Проведемо через точку А2 пересічення прямойа2 з площиною а довільну пряму с2 в площині а. Проведемо в площині а через точку А1 пересічення прямої а1 з плоскостьюa пряму с1, паралельну прямою с2. Оскільки пряма а1 перпендикулярна площині а, те прямі а1 і с1 перпендикулярні. А по теореме 1паралельні їм пересічні прямі а2 ис2 теж перпендикулярні. Таким чином, пряма а2 перпендикулярна будь-якій прямій с2 в площині а. А це означає, що пряма а2перпендикулярна площини а. Теорема доведена.

Теорема 9 Якщо з крапки, лежачої зовні площини, провести до цієї площини перпендикуляр і різні похилі, то:

- перпендикуляр коротше всякою похилою;

- дві похилі, однаково віддалені від основи перпендикуляра, рівні;

- з двох похилих, не однаково віддалених від основи перпендикуляра, довше та, підстава якої далі отстоит від основи перпендикуляра.

1°. З крапки Про (біс. 20) проведемо до площини Р перпендикуляр ВІН і похилу ОА. Остання довше за перпендикуляр ВІН, як похила до прямої НА, до якої пряма ВІН перпендикулярна.

2°. Похилі ОА н ОВ, що володіють тією властивістю, що НА=НВ, рівні через рівність трикутників ВОНА і ОНВ, кути яких при точці Н рівні (як прямі) і поміщені між відповідно рівними сторонами.

3°. Якщо похилі ОА і ОС володіють тією властивістю, що НА < НС, то відкладемо на НС відрізок НВ = НА. Похила ОВ

1 2 3 4 5

Схожі роботи