Поняття матриці. Прямокутна і квадратна матриця. Дії над матрицями та їх властивості

План

 

Основні означення. 3

Квадратна матриця. 3

Дії над матрицями. 4

Використана література. 7


Основні означення

Прямокутна таблиця чисел aij = 1, 2, . . . . m; j= 1, 2, . . . , n, скла­дена з m рядків та n стовпців і записана у вигляді

або   

називається матрицею. Поняття матриці вперше ввели англійські математики У. Гамільтон і Д. Келі. Коротко матрицю позначають так:

або

де aij — елементи матриці, причому індекс і в елементі aij означає но­мер рядка, aj— номер стовпця, на перетині яких стоїть даний елемент.

Добуток числа рядків m на число стовпців n називають розміром матриці і позначають m X n. Якщо хочуть вказати розмір m X n мат­риці А, то пишуть Аmn.

Квадратна матриця

Матриця, в якої число рядків дорівнює числу стовпців, назива­ється квадратною. Кількість рядків (стовпців) квадратної матриці називається її порядком

Матриця, у якої всього один рядок, назива­ється матрицею-рядком, а матриця, у якої всього один стовпець,— матрицею-стовпцем. Дві матриці Аmn=(aij)  та Вmn= (bij) нази­ваються рівними, якщо вони однакових розмірів і мають рівні відпо­відні елементи: аij = bij. Нульовою називається матриця, у якої всі елементи дорівнюють нулю. Позначається така матриця буквою О. Як і в визначниках (п. 1. 1), в квадратних матрицях виділяють головну і побічну діагональ.

Квадратна матриця називається діагональною, якщо всі її елемен­ти, крім тих, що знаходяться на головній діагоналі, дорівнюють нулю. Діагональна матриця, у якої кожен елемент головної діагоналі дорів­нює одиниці, називається одиничною і позначається буквою Е. На­приклад, одинична матриця третього порядку має вигляд

 Будь-якій квадратній матриці

 можна поставити у відповідність певне число, яке називається ви­значником (детермінантом) цієї матриці і позначається символом det А. За означенням

det A=

Наприклад, якщо

то det

Прямокутна матриця розміром т X п (п ф пі) визначника не має.

 

Дії над матрицями

1°. Операція додавання матриць вводиться тільки для матриць однакового розміру. Сумою С = А + В двох матриць Аmn — (aij) і Вmn = (bij) називається матриця Сmn= (cij)=(aij+bij). На­приклад,

 

2°. Добутком матриці Аmn = (aij) на число k (або числа k на матрицю Amn) називається матриця Вmn= (kaij). Наприклад,

 

3°. Різниця матриць А — В визначається як сума матриці А і мат­риці В, помноженої на — 1:

Справедливі такі властивості операцій:

а)  А - В = В + А — комутативність відносно додавання мат­риць;

б)  А + (В + С) — (А + В)+С — асоціативність відносно до­давання матриць;

в)  А + О — А; А — А = О — роль нульової матриці в діях над матрицями така, як і числа нуль в діях над числами;

г)  (βA) = (β) А  — асоціативність відносно множення чисел;

д)  (А + В) = А +Вдистрибутивність множення на чис­ло відносно додавання матриць;

е)  ( + β) А — А + βА — дистрибутивність множення на мат­рицю відносно додавання чисел.

4°. Операція множення двох матриць вводиться

1 2

Схожі роботи

Реферати

Курсові

Дипломні