Поняття про метод Монте-Карло
Для випадку, що розглядається, Знайдемо математичне сподівання даної величини та середнє квадратичне s :
Згідно з (5. 4) маємо
. (5)
Позначивши символом e помилку визначення p, тобто дістанемо , або
(6)
Звідси
(7)
Зауваження 1. Формула (7) дає завищені результати. Наприклад, при p = 0,5 і e = 0,01 необхідна кількість повторень експериментів для пошуку значення ймовірностей оцінюється нерівністю n £ 22500. Автор експериментально визначив необхідне число спроб на імітаційній моделі виробничого процесу машинобудівного заводу. Залежність імовірності простою цеху від величини страхового запасу деталей при різних значеннях числа спроб (10, 1000) наведено на рис. 2. Очевидно, що однієї тисячі спроб достатньо для здобуття достовірного результату.
Рис. 2. Залежність імовірності d простоювання складального цеху від розміру страхового запасу ZcH при різних значеннях числа дублювань спроб N
Зауваження 2
Наведений приклад обчислення інтеграла методом Монте-Карло показав, що для розв’язання цієї задачі на ЕОМ потрібний механізм генерування рівномірно розподілених випадкових чисел, значення яких належать відрізку [0, 1]. Такі числа надзвичайно важливі для методу Монте-Карло. Вони дають змогу імітувати на машині ситуації зі складною стохастичною природою. Опишемо властивості цих чисел.
Нагадаємо, що випадкова величина Х має рівномірний розподіл на відрізку [a, b], коли її щільність розподілу ймовірностей має вигляд
Математичне сподівання та дисперсія випадкової величини
Якщо випадкова величина розподілена на відрізку [0, 1], то
(8)
Рівномірно розподілену на відрізку [0, 1] випадкову величину позначимо x. Для неї характерна унікальна (притаманна лише даному розподілу) властивість: імовірність того, що значення цієї випадкової величини потраплять на деякий інтервал з межами
0 £ a £ b £ 1, дорівнює довжині цього інтервалу:
(9)
Ця властивість часто використовується в методі Монте-Карло як необхідна і достатня умова того, що деяка випадкова величина має розподіл (8).
Принципова можливість генерувати послідовні реалізації випадкової величини x випливає з такого перетворення:
(10)
де — реалізація випадкової величини Z, що набуває лише двох значень — 0 і 1 — з однаковою ймовірністю 0,5.
Можна показати, що отримувана з допомогою перетворення (10) випадкова величина x має властивість (9). Наприклад,
Випадкову величину Z можна реалізувати, наприклад, підкиданням монети, коли вважати, що при випаданні «герба» випадкова величина набуває значення 1, а в противному разі — значення 0.