Синергетика як сучасний етап розвитку кібернетичних ідей

клубок розсипався б на атоми, став геометричним об’єктом розмірності 0.

Процес побудови фрактала ілюструє рис. 2.  

Рис. 2. Приклад побудови фрактала — крижинки Коха

Мандельброт запропонував за міру «нерегулярності» (зрізаності, звивистості) взяти розмірність Безиковича—Хаусдорфа. Ця розмірність завжди не менша за евклідову і збігається з нею для регулярних геометричних об’єктів (кривих, поверхонь і тіл, досліджуваних у евклідовій геометрії).

Розглянемо ідею, яку покладено в основу обчислення зазначеної розмірності. Поділимо відрізок прямої на N рівних частин. Тоді кожну частину можна вважати копією всього відрізка, змен­шеною в r раз. Очевидно, що N та r пов’язані між собою співвідношенням Nr = 1. Якщо квадрат розбити на N рівних квадратів з площею, у 1/r2 раз меншою за його площу, то аналогічне співвідношення запишеться у вигляді Nr2 = 1. А коли куб розбити на N рівних кубів, об’єм яких у 1/r3 раз менший за його об’єм, то відповідне співвідношення набере вигляду Nr3 = 1. У загальному випадку можемо записати:

Nrd = 1,                                                              (1)

де d — розмірність об’єкта; N — кількість рівних підоб’єктів, на яку поділено вихідний об’єкт з коефіцієнтом подібності r.

Якщо деякий вихідний об’єкт (множину) можна розбити на N неперетинних підоб’єктів (підмножин), утворених масштабуванням оригіналу з коефіцієнтом подібності r, і d буде дробовим числом, то такий об’єкт (множину) називають самоподібним фракталом, а величину d — фрактальною розмірністю, явний вигляд якої знаходимо логарифмуванням обох частин виразу (1):

                                                        (2)

Різниця між розмірністю Безиковича—Хаусдорфа та Евкліда — «надлишок розмірності» — може бути мірою відмінності геометричних образів від регулярних. Наприклад, плоска траєкторія руху броунівської частинки має розмірність, більшу від 1, але менше від 2: ця траєкторія вже не звичайна гладка крива, але ще не плоска фігура. Розмірність Безиковича—Хаусдорфа дивного атрактора Лоренца більша за 2, але менша за 3: атрактор Лоренца вже не гладка поверхня, але ще не об’ємне тіло.

Багато природних об’єктів є фракталами (наприклад, берегові смуги, хмари, крижинки, дерева, скелі, нервова та кровоносна системи тварин і людини і т.  ін. ). На перший погляд може здатися, що теорія фракталів має суто теоретичну цінність і зовсім не стосується дослідження реальних економічних об’єктів. Проте насправді часові ряди багатьох фінансово-економічних показників (валютних курсів, курсів акцій) мають фрактальну структуру, і тому з метою їх дослідження можна використовувати апарат фрактального аналізу, зокрема R/S аналіз, який базується на обчисленні статистики Херста, що є мірою випадковості часового ряду (див.  наступну тему).

2. 5 Точки біфуркації.

Динамічні системи, як правило, повільно змінюють характер свого поводження внаслідок незначної зміни внутрішніх або зовнішніх параметрів. Однак можуть існувати такі критичні значення параметрів, при яких система зазнає якісної перебудови і, відповідно, різко змінюється динаміка системи, наприклад втрачається її стійкість. Такі критичні значення парамет­рів називаються точками біфуркації.

Втрата стійкості відбувається, як правило, переходом від точки

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Схожі роботи

Реферати

Курсові

Дипломні