Статичні моделі економічних систем

обсягу відповідно валової і кінцевої продукції.

Переходячи до аналізу моделі МГБ, розглянемо передусім основні властивості матриці А коефіцієнтів прямих матеріальних витрат. Коефіцієнти прямих витрат за означенням є невід’ємними. Окрім цього, оскільки відтворення було б неможливим, коли б для власного відтворення в галузі витрачалося більше продукту, ніж створювалося, то діагональні елементи матриці А, очевидно, мен­ші за одиницю: aij < 1.

Система рівнянь міжгалузевого балансу відбиває реальні економічні процеси, в яких сенс можуть мати лише невід’ємні значення валових випусків. Отже, вектор валової продукції складається з невід’ємних компонентів, тобто є невід’ємним: X ≥ 0.

Постає запитання: за яких умов економічна система здатна забезпечити додатний кінцевий випуск за всіма галузями? Відповідь на це запитання пов’язана з поняттям продуктивності матриці коефіцієнтів прямих матеріальних витрат.

Називатимемо невід’ємну матрицю А продуктивною, якщо існує невід’ємний вектор X ≥ 0, такий що

                                                              (8)

Умова (8) означає, очевидно, існування додатного вектора кінцевої продукції Y для моделі МГБ (6).

Для того щоб матриця коефіцієнтів прямих матеріальних витрат А була продуктивною, необхідно і достатньо, щоб виконувалась одна з наведених далі умов:

1) існує невід’ємна матриця (Е – А)–1 ≥ 0;

2) матричний ряд збіжний, причому його сума дорівнює матриці (Е – А)–1;

3) найбільше за модулем власне значення матриці А, тобто роз­в’язок характеристичного рівняння |А – λЕ| = 0, строго менше від одиниці;

4) усі головні мінори матриці (Е – А), тобто визначники матриць, утворені елементами перших рядків і перших стовпців цієї матриці, порядку від 1 до n, додатні

Простішою, але тільки достатньою ознакою продуктивності матриці А є обмеження на її норму, тобто на значення найбільшої із сум елементів матриці А в кожному стовпці. Якщо норма матриці А строго менша за одиницю, то ця матриця продуктивна. Ще раз наголосимо, що ця умова є тільки достатньою, і матриця А може бути продуктивною і тоді, коли її норма більша за одиницю.

Найбільший за модулем корінь характеристичного рівняння, наведеного в умові 3 продуктивності матриці А (позначимо його через λ*), може бути оцінкою загального рівня коефіцієнтів прямих матеріальних витрат, а отже, значення (1 – λ*) характеризує залишок після витрат, тобто продуктивність. Чим більше (1 – λ*), тим більші можливості досягти ще й інших цілей, крім поточного виробничого споживання. Це означає, що вищий загальний рівень коефіцієнтів матриці А, тим більше найбільше за модулем власне значення λ* і тим нижчий рівень продуктивності, та навпаки: чим нижчий загальний рівень коефіцієнтів матриці А, тим менше найбільше за модулем власне значення і тим вища продуктивність.

Проаналізуємо матрицю коефіцієнтів повних матеріальних витрат, тобто матрицю В = (Е – А)–1. Коефіцієнт цієї матриці показує, скільки всього потрібно виробити продукції i-й галузі, щоб одержати одиницю кінцевої продукції j-ї галузі.

Наведемо ще одне визначення коефіцієнта повних матеріальних витрат, узявши до уваги, що крім прямих витрат існують непрямі виробничі витрати під час виготовлення тієї чи іншої продукції будь-якої галузі. Розглянемо, наприклад формування витрат електроенергії на випуск сталевого прокату, обмежившись технологічним ланцюжком «руда — чавун — сталь —

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Схожі роботи

Реферати

Курсові

Дипломні