Статистичні розподіли вибірок та їх числові характеристики

План 

1. Загальна інформація. 3

2. Дискретний статистичний розподіл вибірки  та її числові характеристики. 4

3. Інтервальний статистичний розподіл вибірки та його числові характеристики  9

4. Двовимірний статистичний розподіл вибірки та його числові характеристики  16

5. Парний статистичний розподіл вибірки та його числові характеристики. 24

6. Емпіричні моменти. 27


1. Загальна інформація 

Кількісні ознаки елементів генеральної сукупності можуть бути одновимірними і багатовимірними, дискретними і неперервними.

Коли реалізується вибірка, кількісна ознака, наприклад Х, набуває конкретних числових значень (Х = хі), які називають варіантою.

Зростаючий числовий ряд варіант називають варіаційним.

Кожна варіанта вибірки може бути спостереженою ni раз (ni ³ 1 ), число ni  називають частотою варіанти xi.

При цьому

,                                                           (350)

де k кількість варіант, що різняться числовим значенням;

n — обсяг вибірки.

Відношення частоти ni варіанти xi до обсягу вибірки n називають її відносною частотою і позначають через Wi , тобто

.                                                            (351)

Для кожної вибірки виконується рівність

.                                                            (352)

Якщо досліджується ознака генеральної сукупності Х, яка є неперервною, то варіант буде багато. У цьому разі варіаційний ряд — це певна кількість рівних або нерівних частинних інтервалів чи груп варіант зі своїми частотами.

Такі частинні інтервали варіант, які розміщені у зростаючій послідовності, утворюють інтервальний варіаційний ряд.

На практиці для зручності, як правило, розглядають інтервальні варіаційні ряди, у котрих інтервали є рівними між собою.

2
Дискретний статистичний розподіл вибірки
та її числові характеристики
 

Перелік варіант варіаційного ряду і відповідних їм частот, або відносних частот, називають дискретним статистичним розподілом вибірки.

У табличній формі він має такий вигляд:

 

X = xi

x1 

x2 

x3 

xk

ni

n1 

n2 

n3 

nk

Wi

W1 

W2 

W3 

Wk

 

Дискретний статистичний розподіл вибірки можна подати емпіричною функцією F *(x).

Емпірична функція F *(x) та її властивості. Функція аргументу х, що визначає відносну частоту події X < x, тобто

,                                         (353)

називається емпіричною, або комулятою.

Тут n — обсяг вибірки;

nx — кількість варіант статистичного розподілу вибірки, значення яких менше за фіксовану варіанту х;

F *(x) — називають ще функцією нагромадження відносних частот.

Властивості F *(x): 

1) 0 £ F *(x) £ 1; 

2) F(xmin) = 0, де xmin є найменшою варіантою варіаційного ряду;

3) , де xmax є найбільшою варіантою варіаційного ряду;

4) F(x) є неспадною функцією аргументу х, а саме: F(x2) ³ F(x1) при x2 ³ x1.

Полігон частот і відносних частот. Дискретний статистичний розподіл вибірки можна зобразити графічно у вигляді ламаної лінії, відрізки якої сполучають координати точок (xi; ni), або (xi; Wi).

У першому випадку ламану лінію називають полігоном частот, у другому — полігоном відносних частот.

Приклад. За заданим дискретним статистичним розподілом вибірки

X = xi

–6

–4

–2

2

4

6

ni

5

10

15

20

40

10

Wi

0,05

0,1

0,15

0,2

0,4

0,1

потрібно:

1. Побудувати F *(x) і зобразити її графічно;

2. Накреслити полігони частот і відносних частот.

Розв’язання. Згідно з означенням та властивостями F *(x) має такий вигляд:

 

Графічне зображення F *(x) подано на рис. 106.

 

 

Рис. 106

Полігони частот та відносних частот зображено на рис. 107, 108.

 

Рис. 107

 

Рис. 108

 

Числові характеристики: 

1) вибіркова середня величина . Величину, яка визначається формулою

,                                                      (354)

називають вибірковою середньою величиною дискретного статистичного розподілу вибірки.

Тут xiваріанта варіаційного ряду вибірки;

ni

1 2 3 4 5 6

Схожі роботи

Реферати

Курсові

Дипломні